Butson-hadamard codes and related quantum codes

Bu tez çalışmasının birinci kısmında Butson-Hadamard matrislerinden elde edilen kodlar ve bu kodların minimum uzaklığı üzerine bazı sınırlar kanıtlanmıştır. Ayrıca yarı-homojen ağırlık kavramı tanımlanıp bu ağırlık altında BH-matrislerden elde dilen kod ailelerinin minimum uzaklıkları incelenmiştir. Modifiye Butson-Hadamard matrislerinden elde edilen kodların parametreleri homojen olmayan Gray dönüşüm altında verilmiş ve bu kodların Plotkin optimal olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Tezin ilk kısmında, BH matrislerinden elde edilen, BH kodları olarak adlandırılan kodlar ele alınarak bu kodların minimum uzaklıkları ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. İlk olarak, bilinen Hamming uzaklığı ele alınarak BH kodlarının uzaklıkları için alt sınırlar verilmiştir. Ardından homojen ağırlıklar göz önüne alınıp bu ağırlıklar altında BH kod ailelerinin uzaklıkları incelenmiştir. Daha sonra, homojen ağırlıkların genelleştirmesi olarak kabul edilen yarı-homojen ağırlık kavramı tanıtılmıştır. Ayrıca bu ağırlıklar altında belirli BH kodlarının Plotkin-optimal olduğu gösterilmiştir. Daha sonra belirli yarı-homojen ağırlıklar altında BH kodlarının mimimum uzaklıkları elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar $p$ asal sayısı $e\ge 2$ için $\Z_{p^e}$ üzerindeki BH kodlarından Gray dönüşümü altında $p$-ary kodların parametrelerini belirlemek için uygulanmıştır. İkinci kısımda ise BH matrisler ile kuantum kodları arasındaki bağlantıyı belirlemek adına kuantum sabitleyen kodları çalışılarak iki kuantum kod yapısı verilmiştir. $p$ bir asal sayı ve $q$, $p$'nin bir kuvveti olsun. Sırasıyla $\codec\subset\mathbb{F}_{q}^{n}$ ve $\coded\subset\mathbb{F}_{q^{k}}^{m}$ $k$ ve $s$ boyutlu iki lineer kod ise o zaman sabitleyen grubu ile tanımlanan ve $\codec,\coded$ ile belirli $\delta$ ile bir $\llbracket nm,ks,\delta\rrbracket_{q}$ kuantum sabitleyen kodunun varlığı kanıtlanmıştır. Bu kodu oluşturuken $p$ boyutlu Fourier matrislerin Kronecker çarpımlarına denk olan Butson-Hadamard matrisler kullanılmıştır. Aynı zamanda genel bir normalleştirilmiş Butson-Hadamard matrisi için bir kuantum kodu yapısı ele alınarak kuantum kodunun sabitleyen bir kod olması için gerekli olan koşullar araştırılmıştır.