Log O-r dönüşümleri ve G(karekökü m) hecke gruplarının çarpan değerleri

S.OZET Çifte periyodik ve meromorf fonksiyona eliptik fonksiyon denir. Theta fonksiy onlarının sonsuz çarpım ifadeleri, oo n-l oo.m = na-?2n)(l+?2n"1)2' n=l oo **(*) = n(i-?2n)a-92n_1)2 şeklindedir. a, b, c, d ? Z ve ad - be = 1 olmak üzere / ar + b t -: CT + d şeklinde ki tüm Möbiüs dönüşümleri bir grup oluşturur. Bu gruba Modular grup denir ve T ile gösterilir. Bu grup aynı zamanda A = J, J, det^l = 1 biçimde 2:r2 tamsayı girdili matrislerle de ifade edilebilir, r, St = t + 1 ve Tt = -l/r dönüşümleri tarafından üretilmektedir. /(r) fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa - r inci dereceden Tam Modular Form denir; a)/(r) üst-yarı düzlem H de meromorf, b)Her (* *J?r,r?R için /(A/r) = c(M)(cr + d)rf{r) c)/(r )nun Fourier serisi, oo f(r) = £ «(n)e2T\ Dedekind Eta fonksiyonu, üst-yarı düzlem H de CO n=l 28ifadesiyle verilir. x = e2mT için n(l - **) sonsuz çarpımını elde ederiz. T £ H için |a?| < 1 bulunur ve böylece sonsuz çarpını sıfırdan farklı ve mutlak yakınsaktır. ( ı ÇTveOÖ olmak üzere, l°S n ( c7+l) = İ0g ^ + T \İ2c~ + S^~d' CM + 2 Iog ^"^CT + d^ dönüşümü Apostol tarafından gösterilmiştir. Burada s(- d, c) Dedekind toplamıdır. Dedekind toplamı, h, k Ç. Z, k > 0, (h, k) = 1 olmak üzere, eşitliği ile tanımlanır. 0r, (r = 2,3,4) fonksiyonları ile rç(r) fonksiyonu arasındaki bağıntılar, log62(r) = log2 + 2logr?(2r)-log»?(r) loge3(r) = ^ + 21og^(^±i)-log?7(r) iog04(r) = 21ogı?(-)-logj?(r) eşitlikleri ile verilir(Barner 1985). Modular, Süreksiz, G \\ffq) Hecke grupları, St - r+Xq, \q = 2 cos |, q G Z, q > 3 ve Tt = -l/r dönüşümleri ile üretilmektedir. q - 3 için St = r + 1 ve Tt = -l/r ile T modular grubunu elde ederiz. Bu çalışmada ilk olarak, log 03 (^) = log 63 ( ^) + 7rı(S(ft, fc) - 2s{h, 2k)) - § log z log 04 (^) = log 04 (^) + ıri(s(h, k) - 2s(A, 2fc)) - | log z log 02 (^) = l°g ©2 (^) - tt^' (^) + «W A, *) - 2s(h, k/2)) - | log z bağıntıları bulundu. Daha sonra G(y/m), m = 2,3 Hecke gruplarına karşı gelen sıfır boyutlu modular form için çarpımsal değerleri belirlemede sistematik bir metot gösterildi. 29