Tam ve kısmi dönüşüm yarıgruplarında bazı kombinatoryal sonuçlar

[𝑛] = {1, 2, . . . , 𝑛} koyalım. Tanım kümesi Dom 𝛼 ⊆ [𝑛] ve görüntü kümesi Im 𝛼 ⊆ [𝑛] olan bir 𝛼 fonksiyonuna kısmi dönüşüm denir. Eğer Dom 𝛼 = [𝑛] ise 𝛼'ya tam dönüşüm denir. Kısmi dönüşümler, transformasyonların bileşke işlemi altında bir yarı grup oluşturur. Bu yarıgruptaki bir 𝛼 öğesinin indeksi ve periyodu, 𝛼^(𝑚+𝑟) = 𝛼^𝑚 olacak şekilde pozitif 𝑚 ve 𝑟 tam sayılarının en küçük değerleridir. 𝑟 = 1 ise 𝛼, 𝑚-potent olarak adlandırılır. Bir 𝑚 için 𝑚-potent olan elemanlara potent eleman diyelim. Bu çalışmada 𝑚-potent ve potent elemanların sayısı verilmiştir. İndeksi 𝑚 ve periyodu 𝑟 olan bir tam dönüşümün, kaymaları (shift) ayrık olan 𝑟 dereceli bir permütasyonun ve bir 𝑚-potent elemanın, benzersiz bir şekilde, çarpımı olarak yazılabileceği gerçeğinin bir tartışması verilmiştir. S𝑛 permütasyon grubu tam dönüşüm grubu üzerinde eşlenik alma işlemi ile etki eder. 1-potent, daha yaygın olarak idempotent olarak bilinen elemanların eşleniklerinin denklik sınıflarının kardinaliteleri hesaplanmıştır. Son iki bölümde, nilpotent yarı grupların kardinalite özellikleri araştırılmıştır. Bu incelemede çizge teorik yöntemler kullanılmıştır. Maksimal simetrik tersinir yarı grupların kardinalitesi için elde edilen sonuçlar yorumlanarak, Bell sayıları ve Stirling sayılarını içeren bazı ilişkiler elde edilmiştir.