5.154
Arşivlenen Tez
4
DOI Atanmış
0%
DOI Oranı
Anabilim Dalı
Adi diferansiyel denklemler ve riemann yapısı
Bu tez çalışmasında birinci ve ikinci mertebeden adi differansiyel denklemle- rin tanımladığı manifoldların eğrilik özellikleri Riemann geometrisi anlamında ince- lenmiş ve adi diferansiyel denklemlerin eşdeğerlik problemi denklemlerin tanımladığı Riemann manifoldları üzerinde denklemleri temsil eden eşçatıların O(n, R)-değerli eş- değerlik problemi olarak ele alınmıştır. Bu amaçla birinci ve ikinci mertebeden adi di- feransiyel denklemler sırasıyla uygun jet uzayları içinde birer manifold olarak ele alınarak denklemleri temsil eden dış diferansiyel sistemlerin elemanları ile bu manifoldlar üzerinde Riemann metrikleri tanımlanmıştır.
Topolojik D-uzayları üzerine
Bu tez çalışmasında, topolojik uzaylarda belirli örtü özelliklerini taşıyan ve çeşitli topolojik yapıların anlaşılmasına katkıda bulunan önemli bir kavram olan D-uzayları incelenmektedir. Bu çalışma, D-uzaylarının temel özelliklerini, bu uzayların çeşitli topolojik yapılarla ilişkilerini ve bu kapsamda elde edilen sonuçları ele almaktadır. Ayrıca, D-uzaylarının belirli topolojik oyunlardaki katkıları da incelenmektedir.
Mix alfabe üzerinde tanımlı kodlar hakkında
Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde kodlama teorisi ve özel bazı lineer kodlar hakkında literatür araştırmalarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde cebirsel kavramlar, kodlama teorisi ve sonlu cisimler ile bazı halka aileleri üzerinde tanımlı skew constacyclic kodların özellikleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde F_q sonlu bir cisim, B=F_q [v]/〈v^3-v〉 bir halka ailesi olmak üzere yeni bir Δ=F_q B mix alfabe oluşturulmuştur. Özel olarak Δ üzerinde tanımlı skew constacyclic kodların cebirsel yapısı çalışılmıştır. Ayrıca ayrılabilir kod kavramı verilmiş ve skew constacyclic kodların duali ve Gray görüntüsü elde edilmiştir. Dördüncü bölümde F_q sonlu bir cisim, β_1,β_2∈F_q^* için R_1=F_q+u_1 F_q, u_1^2=β_1 u_1 ve R_2=F_q+u_1 F_q+u_2 F_q, u_1^2=β_1 u_1, u_2^2=β_2 u_2, u_1 u_2=u_2 u_1=0 halka aileleri olmak üzere yeni bir F_q R_1 R_2 mix alfabe oluşturularak F_q R_1 R_2 üzerinde tanımlı lineer kodlar araştırılmıştır. Özel olarak F_q R_1 R_2 üzerinde tanımlı skew constacyclic kodların cebirsel yapısı, ayrılabilir kod kavramı, duali ve Gray görüntüsü verilmiştir. Beşinci bölümde F_q sonlu bir cisim, i=3,…,k, j=1,2,…,k, i≠j k≥3 için S_(q,k)=F_q [w_1,w_2,…,w_k ]/〈w_j^2=w_j,w_i w_j=w_j w_i,w_1 w_2-w_2 w_1 〉 olmak üzere yeni bir halka ailesi oluşturulup, bu halka ailesi üzerinde skew constacyclic kodlar çalışılmıştır. Daha sonra yeni bir F_q S_(q,k) mix alfabe oluşturularak F_q S_(q,k) üzerinde tanımlı lineer kodlar araştırılmıştır. Özel olarak skew constacyclic kodların cebirsel yapısı, ayrılabilir kod kavramı, duali ve Gray görüntü verilmiştir. Son bölümde ise sonuç ve tartışmalar kısmına yer verilmiştir.
İkinci basamaktan indirgeme dizileri ile Hessenberg determinantların karakterizasyonu
Bu çalışmada genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayı dizileri ile n boyutlu çeşitli Hessenberg matrislerin determinantları arasındaki bazı yeni ilişkiler verildi. Ayrıca pozitif bir k tamsayısı için, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin k-ardışık terimleri göz önüne alınarak n boyutlu çeşitli Hessenberg ve üç bant matrislerin determinantları ile aralarındaki ilişkiler elde edildi.Anahtar Kelimeler: Hessenberg matris, Hessenberg determinant, genelleştirilmiş Fibonacci sayıları, genelleştirilmiş Lucas sayıları
Gecikmeli av-avcı sistemlerinde Hopf çatallanma ve kararlılık analizi
Bu tezde gecikmeli lojistik bir av-avcı sisteminin dinamiği incelenmiş ve ? gecikme parametresi,çatallanma parametresi olarak seçilerek kararlılık ve Hopf çatallanma analizi çalışılmıştır.Ayrıca normal form teori ve center manifold teoremi kullanılarak kritik ? değerinde çatallanan periyodik çözümün yönü,kararlılığı ve periyodu elde edilmiştir.Elde edilen teorik sonuçlar ise nümerik simülasyonlarla desteklenmiştir.
Modüler formlara bilgisayar ile yaklaşım
Bu Tez çalışmasında modüler grup ve denklik altgruplarının özellikleri verilmektedir. Modüler formların tanımı ve özellikleri anlatılmaktadır. Modüler formlar uzayı için bu uzayın tam olarak sınıflandırılması yapılmıştır. Modülr semboller ve Manin semboller anlatılıp bu sembollerin modüle formlar ile alakaları açıklanmıştır. Bu sınıflandırma kullanılarak bilgisayarda hesaplamaarın nasıl yapılması gerektiği açıklanmış ve örnekler verilmiştir. Bu tez verilen bir modüler form uzayı için baz nasıl inşa inşa edilir sorusunu yanıtlamaktadır. Bahsedilen konularla eş zamanlı olarak SAGE aslı William Stein tarafından geliştirilen açık kaynak cebir programı hakkında bilgi verilip, modüler form uzayları üzerinde hesaplamalar yapıp bunların yorumları yapılmıştır.
Likiditenin hisse senedi fiyatlarına etkisi
Bu tezde piyasadaki yüksek ya da düşük likiditenin hisse senedi fiyatları üzerindeki etkisi adi diferansiyel denklemlerden oluşan bir diferansiyel denklem sistemi türetilerek çalışılmıştır ve bu tez çalışması Caginalp ve Merdan tarafından 2007' de yayınlanan çalışmalarındaki modelin bir genişletmesidir. Bu model iki yatırımcı grup ve tek hisse senedi ihtiva eden bir finansal piyasayı göz önüne almaktadır. Bu tez çalışmasının amacı ise aynı finansal piyasa modelinde fiyatın yönü ve değere dayalı yatırımcı stratejisinin yanında likiditeye dayalı yatırımcı stratejisinin de hisse senedi fiyatlarına etkisini gözlemektir. Hisse senedi fiyatının zaman içindeki gelişimi her iki model için aynı örnek çalışılarak nümerik simülasyonlarla karşılaştırılmıştır.Anahtar Kelimeler: Hisse senedi fiyatlaması için adi diferansiyel denklem, dinamik sistemlerle matematiksel finans yaklaşımı, hisse senedi fiyatlama teorisi, likidite, hisse senedi akışı.
Homojen grupları içeren piyasalardaki hisse senedi fiyatlarının matematiksel modellenmesi
Bu tez çalışmasında hisse senedi fiyatlarını tahmin etmek için yeni bir fiyat değişim formülü kullanılarak elde edilen bir matematiksel model üzerinde çalışılmıştır. Bu modelde klasik ekonomide kabul gören ancak uygulamada kullanışlı olmayan kabullerin aksine, uygulamada kabul gören prensiplerin göz önüne alındığı tek çeşit hisse senedi ve bir grup aynı görüşteki yatırımcıdan oluşan bir sistem göz önüne alınmıştır. Bu sistemde bulunan tek çeşit hisse senedi, sistemdeki yatırımcılar arasında alınıp satılmaktadır. İlk olarak sistem kapalı olarak düşünülmüştür; daha sonra kapalı olan bu sistem dışarıdan içeriye veya içeriden dışarıya, para veya hisse senedi akışının olduğu kapalı olmayan bir sisteme genişletilmiştir. Elde edilen matematiksel model ile arz ve talep hakkında daha fazla bilgiye sahip olan piyasalarda hisse senedi fiyatlarının dinamiği çalışılmıştır.Bu çalışmada elde edilen matematiksel modelin temeli, klasik ekonominin temelini oluşturan ?arz ve talep birbirine eşit iken fiyat dengeye oturur? prensibine bağlı kalınarak yapılmış çalışmalara dayanmaktadır. Ancak bu tez çalışmasında, geçmişteki çalışmalardan farklı olarak, aşırı talep fonksiyonu kullanılarak elde edilmiş fiyatın zamana bağlı değişim denklemi yerine, Caginalp tarafından 2005 yılında yayınlanan çalışmada elde edilmiş yeni bir bağıl fiyat değişimi formülü kullanılmıştır. Bu formül arz ve talebin belirli bir fiyattaki değerinin yanında türevlerinin de bilindiği göz önüne alınarak çıkarılmıştır. Bu yeni formül kullanılarak elde edilen matematiksel modelin, arz ve talep hakkında daha fazla bilgi içeren piyasalarda, aşırı talep fonksiyonunun kullanıldığı matematiksel modellere nazaran daha iyi bir tahmin vereceği öngörülmektedir.Anahtar Kelimeler: Hisse senedi fiyatı dinamikleri, arz-talep dengesi, denge noktası, lineer olmayan arz ve talep fonksiyonları.
Farklı yapıda grupları içeren piyasalardaki hisse senedi fiyatı dinamiği
Bu tez çalışmasında, dinamik sistemler yaklaşımı ile hisse senedi fiyat dinamiğinin incelenmesi amaçlanmıştır. Tez çalışmasında baz alınan literatürdeki çalışmalarda, finans piyasalarında teoride kabul edilen unsurların aksine, yatırımcıların pratikte rutin olarak karşılaştığı faktörler dikkate alınmıştır. Bu faktörler, piyasalarda sınırlı miktarda para ve hisse senedi olduğu, hisse senedi alım satımı esnasında yatırımcıları hisse senedinin değeri kadar hisse senedinin yönünün de etkilediği, farklı yatırımcıların hisse senedi için farklı değerler biçebilecekleri şeklinde sıralanır. Bu tez çalışmasında Caginalp ve Merdan tarafından 2007 yılında yayınlanan çalışma temel alınmıştır [12]. Söz konusu çalışmada kurulan matematiksel modelde, farklı motivasyon ve stratejilere sahip olan iki grup ve bu gruplar arasında alım satımı yapılan tek tür hisse senedinin olduğu düşünülmüştür. Bu tez çalışmasında, hisse senedi fiyatına literatürdeki çalışmalara nazaran daha iyi tahmin verebilmek için, [12] çalışmasındaki matematiksel model geliştirilerek yeniden düzenlenmiştir. Literatürdeki çalışmalarda klasik mikroekonominin temel prensibine göre fiyat değişimini aşırı talep fonksiyonuna bağlı olarak belirleyen denklemin, arz ve talep fonksiyonlarına dair daha fazla bilgi ihtiva eden piyasalarda yetersiz kaldığı görüşü bu tez çalışmasının hareket noktası olmuştur. Çünkü mevcut aşırı talep fonksiyonu, arz ve talep fonksiyonlarının yalnızca bir fiyattaki değerlerini kullanarak fiyat tahmini vermektedir. Bu durum, arz ve talep fonksiyonları hakkında daha fazla bilgi sunan piyasalarda, hisse senedi fiyatı için iyi bir yaklaşım yapılamamasına yol açmaktadır. Bu nedenle, fiyat değişimi için Caginalp' in [1] çalışmasında önerdiği iyileştirilmiş yaklaşım kullanılarak, arz ve talep fonksiyonlarına dair daha fazla bilgi ihtiva eden piyasalarda kullanılabilecek yeni bir model inşa edilmiştir.Anahtar Kelimeler: Klasik mikro ekonomi, Arz, Talep, Dinamik sistemler
Frekans atlamalı diziler
Bu tezin amacı, Elektronik, İletişim ve Bilgisayar Mühendisliği'ndeki kodlarda bilgi iletimi sağlamak için gerekli olan FHS lerin cebirsel yolla oluşturulmasıdır. Bu amaçla bazı makaleler incelenmiş ve FHS üretim metotlarına dayalı detaylı bir anlatım yapılmıştır. Bu anlatımın içeriğinde FHS ve optimal FHS nin tanımı, optimallik kriterleri vardır. Optimallik için alt sınırlara da yer verilmiştir. Ayrıca bu anlatımlardan sonra makalelerdeki optimal FHS oluşturmaya dayalı yöntemleri inceleyip bu yöntemleri iyice anladıktan sonra, hepsinde ortak ve sonlu cisimlerde de uygulaması olan bir yöntem olan, iz fonksiyonu yardımıyla FHS oluşturanlara bakılmıştır. Makalelerde verilen örnekler detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Bu anlatımdan sonra da makalelerdeki oluşumları sağlamaya yönelik başka örnekler de MAGMA programı yardımıyla incelenmiştir. Bunun ötesinde makalelerdeki oluşumları sağlamayan parametrelerin neden çalışmadığına dair örnekler de incelenmiştir. Bu sorun net bir yanıt bulamamakla beraber, cevap aramak için teoremlerin ispatlarına bakılmıştır. Bu tezde bu ispatlara yer verilmemiştir, ancak sadece bazı somut örnekler için MAGMA programı sayesinde incelemeler yapılmıştır. Sonuçta ise bu üretim metotları için açıkça bir karşılaştırma yapılmıştır. Birbirini kapsayan ve birinin diğerinin dışında kaldığı parametreler gözlemlenmiş ve tartışılmıştır. Sonuç olarak bu yapılar için bir tablo oluşturulmuş ve bu tablo bize hangi parametrenin nerede olduğuna dair kesin bir sonuç vermiştir. Yeni parametreler ve farklı yöntemler arayışımız devam etmekte olup, başka fonksiyonlar yardımıyla da incelenebilecek olan bu FHS yöntemlerinden, iz fonksiyonu yardımıyla oluşturulmuş olanları için başka yeni parametreler de bulunabilir.
Allee etkisi altında bir genel fark denkleminin kararlılık analizi
Son yıllarda matematiksel modelleme metotları, disiplinler arası çalışmada büyük önem taşımaktadır. Bir olguyu ya da problemi nicelik olarak çözemesek bile, nümerik çalışmalar yaparak problemin çözümüne tahmin vermek tıp, mühendislik, biyoloji ve ekoloji gibi bir çok bilimsel sahada ilerlemeyi beraberinde getirmiştir. Ayrıca kararlılık analizi, tahmin edilen bu çözümlerin doğruluğunu göstermekte ve problemin gelecek zamandaki davranışları hakkında bize bilgi vermektedir. Bu tez çalışmasında, T=3 iken X_(t+1)=?X_t f(X_(t-T)) lineer olmayan genel fark denkleminin kararlılık analizine bakılmıştır. Daha sonra denkleme Allee fonksiyonu olarak bilinen, negatif popülasyon yoğunluğunu simgeleyen fonksiyon eklenmiş ve kararlılık analizleri karşılaştırılmıştır. Allee etkisi eş bulamama, yiyecek kıtlığı, avlanma, az doğurganlık oranının olması gibi durumlarda ortaya çıkan, popülasyon yoğunluğu belli bir kritik yoğunluğun altında iken büyüme oranını düşürüp, popülasyonun yok olmasına sebep olan bir etkidir. Sonuç olarak, daha önce T=1 ve T=2 için yapılan çalışmalar ile karşılaştırılmış ve gecikme terimi arttıkça kararlılığın azaldığı, bazı durumlarda Allee etkisinin denklemin kararlılık yapısını bozduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, `Lojistik fark denklemi' adı verilen bir denklem üzerinde nümerik çalışmalarla bulunan sonuçlar desteklenmiştir.
Genel gecikmeli bir diferensiyel denklemin Hopf çatallanma analizi
Bu tez çalışmasında dinamik sistemler için büyük öneme sahip olan bir genel gecikmeli diferensiyel denklem için ? gecikme parametresi, çatallanma parametresi olarak seçilerek Hopf çatallanma analizinin yapılması amaçlanmıştır. Bu analizi yapmak için E. Hopf'un teorisine bir alternatif sunan [26] numaralı referansta bahsedilen teori uygulanmıştır. Bu analize ek olarak, Poincaré Normal Form ve Center Manifold Teoremi kullanılarak ?_0 çatallanma değerinde periyodik çözümün yönü, kararlılığı ve periyodu hesaplanmıştır. Bu incelemeden elde edilen sonuçlar yapılan nümerik çalışmalar ile desteklenmiştir.
Optimal frekans atlamalı diziler
Bu tezin amacı, Frekans Atlamalı Kod Bölü¸sümlü Çoklu Eri¸sim1 (FH-CDMA), Bluetoothve ultra geni¸s bant gibi popüler sistemlerde kullanılan Optimal Frekans Atlamalı Dizilerin(FHS lerin) olu¸sturulmasıdır. Literatürde optimalli?gi belirleyen sınırlar bulunmaktadır. Buradakioptimallik Lempel-Greenberger ve Peng-Fan anlamındadır. Bu tezde, 1974 den bugüneyayımlanmı¸s optimal FHS üretim metodları incelenmi¸s ve bir tabloda toplanmı¸stır. AyrıcaLempel-Greenberger Sınırı nın keskin bir sınır olup olmadı?gının incelenmesi için 1974 teyayımlamı¸s makalede bulunun optimallik sınırı ve ispatı verilmi¸stir. FHS lerin olu¸sturulmasındakullanılan cebirsel, kombinatorik vs. gibi bir çok metod vardır. Bunların içindencebirsel bir üretim metodu olan ?Iz Fonksiyonu ile üretim yapan 4 makale incelenmi¸s ve bunlarınMAGMA ile gerçekle¸stirimi yapılarak örnekleri incelenmi¸stir. Ayrıca girilen parametreleregöre FHS olu¸sturan yeni bir MAGMA kodu yazılmı¸stır ve yeni optimal dizilerin varlı?gıincelenmi¸stir. Sabit parametreler için optimal FHS ler bulunmu¸stur ancak bunlar henüz birkurala oturtulamamaktadır. Yeni optimal FHS üretim arayı¸sımız devam etmekte olup ilerleyençalı¸smalarımızda, ?Iz Fonksiyonunun yanı sıra di?ger üretim metodları için de benzer bir çalı¸smayürütülebilir.
Zaman skalaları üzerinde istatistiksel yakınsaklık ve karakterizasyonları
Bu tezde, zaman skalaları üzerinde tanımlanan reel değerli ve ?-ölçülebilir fonksiyonların istatistiksel yakınsaklığı kavramı incelenmiş ve bu yakınsaklık metodu için çeşitli karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bu çalışmada elde ettiğimizsonuçlar literatürde var olan istatistiksel yakınsaklık metotlarını içermenin yanı sıra, bir çok yeni metot için de uygulama alanı oluşturmaktadır.Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde zaman skalası teorisine ve istatistiksel yakınsaklığa ilişkin temel tanımve teoremlere yer verilmiştir. Orjinal sonuçlarımızın bulunduğu üçüncü bölümde, bir zaman skalası üzerinde tanımlanan fonksiyonun istatistiksel yakınsaklığı inşaedilmiş ve hangi koşullar altnda bu yakınsamanın gerçeklendiği araştırılmıştır.Son bölümde ise bu tezden elde edilen çıktılara ve gelecekte konuyla ilgili dahanelerin yapılabileceğine değinilmiştir.
Yüksek mertebeden lineer indirgeme dizilerinin terimlerinin ters toplamları
Keyfi başlangıç koşullarına sahip ve her 1<=i<=k için p_i'ler keyfi reel sayılar olmak üzere yüksek mertebeden sabit katsayılı lineer indirgeme dizisi {u_n } u_n=p_1 u_(n-1)+p_2 u_(n-2)+...+p_k u_(n-k) kuralı ile tanımlanır. Bu tezde, başlangıç koşullarına ve katsayıların seçimine bağlı olarak her bir {u_n } dizisi için 0<=r
Bir kombinatoryal matris ve lineer cebirsel karakterizasyonları
Bu tezde, genelleştirimiş Fibonacci dizisi {U_n} nin çift indisli terimleri kullan ılarak bir kombinatoryal matris tan ımlanmıştır. Bu matrisin çeşitli lineer cebirsel özellikleri icelenmiştir. Bu özellikler; LU çarpanlamas ı, Cholesky çarpanlamas ı, tersi ve determinantıdır. Ayrı ca bu matrisin çeşitli matris normları hesaplanm ışt ır ve bunlar yardı mı ile tanı mlanan matrisin spektiral yar çap ı için en iyi üst s ını r verilmiştir.
İkili olmayan dizilerin korelasyon dağılımları üzerine sonuçlar
p bir asal sayı, m bir tek tam sayı , d = (p^m + 1)^2/2(p + 1) ve 0 < l < (p^m + 1)^2 olarak verilsin. Bu çalışmada, m(t) periyodu p^(2m)-1 olan bir p-li m-dizi olmak üzere m(t) ile desime olmuş dizi m(dt+l) nin korelasyon dağı l mı ele al ınmıştır. [1] çalışması nda bu korelasyonun alabileceği tüm değerler verilmiştir. p = 3 olan ilk durumda en fazla 9 tane, p > 3 olan ikinci durumda en fazla 11 tane değer olabileceği belirtilmiştir. Bu çalımada p = 3, m <= 5 ve l nin tüm değerleri için korelasyon dağı lı m tabloları nı elde ettik ve korelasyon değerlerinin en fazla 8 değer alduğu nu gözlemledik. [1] çalışması nda korelasyon değerlerinin 9 değerli olduğunu belirtmişlerdi. Bu durumda [1] da belirtilen -1 + ((1 + p)/2)p^m aday mevcut değildir. Ayr ca p = 3, m = 3 ve l = (p^m + 1)/4 durumu için korelasyon değerlerine bak ıldığı zaman toplamda 6 tane farklı değer ortaya çı kmıştı r. Bu durum [2] deki l = 0 durumunun çalışmas na benzer olmakla beraber dağı lı m tablosu tamamen farkl ıd ır.
Hellesth-gong dizilerinin korelasyonları üzerine sonuçlar
Diziler şifreleme alanı nda kullan ılan önemli argümanlard ır. İyi korelasyona sahip dizilerin günümüzde birçok uygulaması vard ır. Bu uygulamalar ın baz ıları nda birden fazla kullan ıcı tek bir iletişim kanalı nı kullanmaktad ır. Helleseth ve Gong taraf ından önerilen dizi ve bu dizinin kaydı rılması yla elde edilen yeni dizinin korelasyonunun 3 değerli dağı lı ma sahip olduğu bilinmektedir. Literatürdeki çal ışmalar bu kayd ırmalı dizilerin özel olarak d (desimasyon) say ısı ile elde edildiğini göstermiştir. Bu tezde Helleseth-Gong dizisinin hangi d değerleri için 3 dağılı ma sahip olduğu incelenmiş, farklı d say ılar ı için dağılımın 3 değerli olduğu gösterilmiştir. Bunlara ilaveten ispatlanması güç olan yeni bir gözlem ortaya konmuş ve SAGE kodu ile belirli boyutlar için doğrulanm ştır. Bu yeni gözlemin ispatı için farklı bir teknik gerekmektedir.
Simetrik Fibonacci matrisi
Bu tezde, Fibonacci dizisi {F_n} nin terimleri kullanı larak bir kombinatoryal matris tanı mlanm ıştı r. Bu matrisin çeşitli lineer cebirsel özellikleri incelenmiştir. Bu özellikler; LU çarpanlaması , Cholesky çarpanlaması , tersi ve determinant ıdı r. Ayr ıca bu matrisin spektiral yar çapı için çeşitli matris normlar hesaplanarak bunlar yard mı ile en iyi üst sı nı r verilmiştir.
Toplam sürecinin baskakov tipindeki korovkin teorisine uygulanması
Bu tezde, Bell tarafından ortaya konan toplanabilme metodunu kullanarak, sürekli fonksiyonlara ve türevlerine, pozitif lineer operatörler sınıfından daha geniş bir sınıf ile yaklaşılmaya çalışılacaktır. Sonuçlarımız sadece Baskakov'un düşüncelerini değil, aynı zamanda pozitif lineer operatörlere dayanan Korovkin teorisini de geliştirecektir. Son olarak böyle bir çalışmaya neden ihtiyaç duyduğumuzu daha somut bir şekilde gösterebilmek için seçtiğimiz özel bir operatör dizisinin, sürekli bir fonksiyonun türevine toplanabilme metoduyla yaklaşabildiği, ancak klasik manada yakınsayamadığı, grafikleri çizilerek gösterilecektir.
Toplam sürecinin korovkin teorisi üzerindeki etkileri
Bu tezde, belirli bir sınıfa ait lineer operatörler yardımıyla toplanabilme metodu kullanılarak ağırlıklı uzaylar üzerinde tanımlı bir fonksiyona ve onun türevlerine yaklaşımlar elde edilmiştir. Bulduğumuz sonuçlar, aynı zamanda Efendiev tarafından elde edilen yaklaşım teoremlerini de genelleştirmektedir. Kullanmış olduğumuz toplanabilme metodu, klasik yakınsaklığın yeterli olmadığı durumlarda da yaklaşım yapabilmemize imkan sağlamaktadır. Tezin son kısmında, bu durumu bir örnekle açıklayıp verilen bir pozitif lineer operatörler dizisinin fonksiyon ve türevlerine aritmetik ortalama yakınsadığı, ancak klasik anlamda yakınsamadığı grafikler üzerinde gösterilecektir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, istatistiksel yakınsaklık, A-istatistiksel yakınsaklık, toplana-bilme metodu gibi bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde ağırlıklı uzaylar üzerinde fonksiyon ve türevlerine lineer operatörler dizisi yardımıyla yapılan A-istatistiksel yaklaşım teoremlerinden bahsedilmiştir. Orijinal sonuçlarımızın yer aldığı dördüncü bölümde toplanabilme metodu kullanılarak fonksiyon ve türevlerine ait ağırlıklı yaklaşım sonuçları elde edilmiştir. Son olarak beşinci bölümde elde ettiğimiz sonuçların bazı özel hallerine yer verilmiş ve özel bir lineer operatörler dizisi tanımlanarak onun yaklaşım özellikleri grafiksel gösterimlerle irdelenmiştir.
Matris Kondisyon Sayısında Bölge Büyüklüğünün Rolü
Peridinamik, malzemelerdeki çatlak ve kırıkları belirlemek için kullanılan, başarısı birçok uygulamada sınanmış oldukça etkin bir modelleme yöntemidir. Peridinamiğin başarısı, çatlaklar gibi şiddetli süreksizlikleri türev yerine yerel olmayan integral operatörü kullanarak modelleyebilmesidir. Peridinamiğe olan ilgi son yıllarda oldukça artmış, teorik ve uygulamalı bir çok araştırma yapılmıştır. Peridinamik kullanılarak elde edilen sayısal çözümlerde ayrıklaştırma ilk adımı oluşturmaktadır. Ayrıklaştırma neticesinde ortaya çıkan matrisin kondisyon sayısı, kullanılan sayısal yöntemin yakınsama performansını belirlemektedir. Bu sebeple kondisyon sayısında yer alan tüm parametre bağımlılıklarının açık bir şekilde ortaya çıkartılması büyük önem arz etmektedir. Aksoylu ve Unlu, kondisyon sayısının davranışını belirlemiş ve kondisyon sayısı için kesirli Sobolev uzayının mertebesi s, ufuk ölçüsü ve adım ölçüsü h parametrelerine bağlı keskin bir üst sınır elde etmişlerdir ve elde ettikleri sınırın keskinliğini hem teorik hem de sayısal olarak ispatlamışlardır. Bu çalışmamızda, Aksoylu ve Unlu'nun ortaya çıkardığı parametrelere bağımlılıklarının üzerine, bölge büyüklüğü parametresi H'a olan bağımlılığı ortaya çıkarttık.
Lagrange-Burmann ters çevirme formülü ve kombinatorikte uygulamaları
Bu tezde Lagrange-Bürmann inversiyon formülü (veya sadece Lagrange) olarak bilinen ve özel olarak mertebesi bir olan kuvvet serilerinin bileşke işlemine göre tersini bulmakta kullandığımız yöntem tanıtılmış, bu amaç}la bazı temel konularda da bilgiler verilmiştir. Tez kapsamında, Lagrange-Burmann inversiyon formülünün farklı yöntemlerle elde edilen ispatları sunulmuş ve formülün uygulandığı birçok kombinatorik ve nümerik problem, örnek olarak verilmiştir.
Maksimum-çarpım operatörlerinin yaklaşım özellikleri
BU yüksek lisans tezinde istatistiksel yakınsaklık kavramı kullanılarak pseudo-lineer yapıdaki maksimum-çarpım operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Hem klasik hem de istatistiksel yaklaşım sonuçları üzerinde durulmuştur. Üstelik elde edilen yaklaşımın istatistiksel oranları ile ilgili sonuçlara da yer verilmiştir. Son olarak lineer olmayan bu operatörler için q-Bernstein polinomları yardımıyla yeni bir uygulama sunulmuştur.
Yerel sınır sartlı yerel olmayan problemlerin 1 boyuttan 2 ve 3 boyuta genişletilmesi
Peridinamik (PD), sürekli ortamlar mekaniğinin yerel olmayan bir genişlemesi olmakla birlikte, yönetici operatörü olarak integral temelli konvolüsyonu ihtiva eder. R^n'de, perdinamik teorinin yönetici operatörü, klasik (yerel) operatörün sınırlı bir fonksiyonudur [2]. 1D'de, Aksoylu ve diğerleri [1] peridinamik formulasyonunu, Hilbert bazlarını temel alan bir konvolüsyon operatörünü kullanarak sınırlı bir bölge için genelleştirdiler. Burada Hilbert bazları sonsuz bir toplam vermektedir. Böylelikle, yerel sınır koşulları, klasik operatörün sınır şartlarına uygun olarak bulunan Hilbert bazları yardımıyla, yerel olmayan teorilere uygulanabilmiş oldu. Sonsuz toplamın integral gösterimi, uygun bir nümerik hesaplamaya izin verdiği için oldukça kullanışlıdır. Bu tezde, [1]'nin sonuçları 2D ve 3D'ye genişletilmiş ve anti-periyodik ve periyodik sınır koşullarını sağlayan yönetici operatörlerin integral gösterimleri bulunmuştur. Neumann ve Dirichlet sınır koşullarının integral gösterimi karmaşıktır. Bunun yerine, 1D'de, anti-periyodik ve periyodik sınır koşulları ve fonksiyonun çift ve tek parçaları kullanılarak Neumann ve Dirichlet sınır koşulları bulundu [1]. Burada, 'basit' (simple) denilen konvolüsyonlar kullanıldı. Bu tezde, bu yapılar 2D ve 3D'ye genişletildi. Ek olarak, yönetici fonksiyonların açık formları verildi.
Bir HIV/AIDS enfeksiyon modeli ve kararlılık analizi
Bu tezde, tümör hücrelerini içeren bir HIV enfeksiyon modeli verilmekte ve bu model analiz edilmektedir. Modelde, dört popülasyon bulunmaktadır: tümör hücreleri, yardımcı T-hücreleri, enfekte olmuş yardımcı T-hücreleri ve virüs. Bu popülasyonlar arasındaki ilişki, lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenmiştir. Bu popülasyonlardaki zamana göre değişim ise diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilmiştir. İlk olarak HIV, tümör ve bağışıklık sistemi etkileşimi üzerinde durulmuştur. Takiben, çözümün pozitifliğinden bahsedilmiş ve modelin denge noktaları belirlenerek bu denge noktalarının kararlılık analizi yapılmıştır. Son olarak; elde edilen analitik sonuçlar, nümerik çalışmalar ile desteklenerek, biyolojik açıdan yorumlanmıştır.
Maksimum-çarpım operatörlerinin toplam süreci
Bu tezde, Bell tarafından tanımlanan genel bir toplam süreci kullanılarak sürekli fonksiyonlara pozitif fakat daha zayıf lineerlik koşulunu sağlayan maksimum-çarpım operatörleriyle yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu sayede, klasik yaklaşımın gerçeklenmediği durumlara da cevaplar aranmış, alternatif yaklaşım metodları elde edilmiştir. Burada elde edilen sonuçların klasik yakınsaklık, aritmetik ortalama yakınsaklık, hemen hemen yakınsaklık gibi bilinen pek çok regüler toplanabilme metodlarını içerdiği gösterilmistir. Son olarak bu yaklaşımın hata tahmini hesaplanmış ve örneklerle desteklenmiştir. AnahtarKelimeler:Toplam süreci, Maksimum-Çarpım operatörleri, Hata tahmini
Gecikmeli bir yapay sinir ağı modeli ile gecikmeli bir av-avcı modelinin kararlılık ve hopf çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasında temel amaç, gecikmeli diferensiyel denklem sistemlerinin kararlılık ve Hopf çatallanma analizlerini incelemektir. Bunun için, popülasyon dinamiği ve yapay sinir ağları alanlarında yer alan, farklı iki alana ait diferensiyel denklem sistemleri belirlenmiş, sistemlerde gerekli yerlere gecikme terimleri eklenerek sistemler iyileştirilmiş ve sistemlerin dinamik davranışları incelenmiştir. Çatallanma teorisi, seçilen bir kontrol parametresine bağlı olarak sistemlerin dinamiğini inceleyen dinamik sistemlerin bir araştırma sahasıdır. Amaç, kontrol parametresine göre değişimini gözlemlemek istediğimiz sistemin uzun vadedeki davranışını incelemektir. Çatallanma ise, değişen parametre değerlerine karşılık dinamik sistemin kalitatif yapısında değişiklik olmasıdır. Fark denklemleri ve diferensiyel denklemlere göre farklı çeşitlerde birçok çatallanma tipi mevcuttur. Ayrıca, modelin boyutuna göre de çatallanma tipleri ve adları değişmektedir. Dinamik sistemler teorisinde periyodik çözümler çok geniş bir yer tutmaktadır. Sürekli dinamik sistemlerde, bir parametreye bağlı lokal olarak periyodik çözümleri belirlemenin yolu ise Hopf çatallanma analizidir. Hopf çatallanması, en az iki boyutlu diferensiyel denklem sistemlerinde görülen, kritik parametre değerinden sonra denge noktasının kararlılık yapısının değiştiği (bakılan eksene göre yön değişebilir) ve limit döngülerinin (periyodik çözümlerin) ortaya çıktığı çatallanma tipidir. Gecikmeli diferensiyel denklemlerde, gecikme parametresini çatallanma parametresi olarak seçmek yaygındır. Bir dinamik sistemde, geçmiş zamanın etkilerini sisteme yansıtmak için modellere gecikme terimi eklenir. Gecikme terimi eklenilen denklemleri çalışmak biraz daha zor olsa da doğada gecikmeler daima mevcuttur. Popülasyon dinamiğinde, bir türün avlanabilmesi için olgunlaşma süreci veya avlanma için gerekli olan süre, bir bakterinin kuluçka süresi, bir sinir hücresinin uyarıldıktan sonra çıktının oluşabilmesi için geçmesi gereken süre gecikmelere örnek olarak verilebilir. Bu tez çalışması, esas itibariyle iki kısımdan oluşmaktadır: Tezin ilk kısmında, popülasyon dinamiğinde zengin bir içeriğe sahip olan bir oran-bağımlı denklem sistemine kesikli gecikme terimleri eklenmiştir. Bu bölüm, kendi içerisinde eşit gecikmeli terimli ve farklı gecikmeli terimli olmak üzere iki farklı sistemin Hopf çatallanma ve kararlılık analizlerini içermektedir. Tezin ikinci kısmında ise iki sinir hücreli geri beslemeli bir yapay sinir ağı sistemine hem kesikli hem dağılımlı gecikme terimi eklenmiş ve sistem yine iki farklı kategoride incelenmiştir. İki sistemde de, Hopf çatallanmanın varlığını garantileyebilmek için parametreler üzerine konacak gerekli şartlar belirlenmiş ve periyodik çözümlerin ortaya çıktığı gösterilmiştir. Çalışılan dört sistem için elde edilen teorik bulgular, MATLAB programı kullanılarak nümerik örneklerle desteklenmiştir.
Bir ayrık av-avcı modelinin kararlılık ve çatallanma analizi
Bu tezde, bir av-avcı modeline Euler metodu uygulanarak elde edilen ayrık sistemin dinamik yapısı analiz edilmiiştir. Ele alınan bu modelde av ve avcı olmak üzere birbirleriyle etkileşim içerisinde olan iki popülasyon bulunmaktadır. Bu popülasyonlar lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenmiş olup popülasyonlardaki zamana göre değişim ise diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilmiştir. Tezde ilk olarak model Euler metodu yardımıyla ayrıklaştırılarak fark denklemi sistemi haline getirilmiştir. Takiben elde edilen ayrık sistemin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilip bu noktanın kararlı olabilmesi için gerekli şartlar belirlenmiştir. Daha sonra yine bu pozitif denge noktasında flip çatallanma görülebilmesi için gereken koşullar konulmuş ve bu koşullar altında denge noktasındaki flip çatallanmanın varlığı Merkez Çokkatlı Uzay Teoremi (Center Manifold Theorem) yardımıyla ispat edilmiştir. Son olarak da elde edilen analitik sonuçlar, nümerik çalışmalar ile desteklenerek biyolojik açıdan yorumlanmıştır.
Zaman skalaları üzerinde yakınsaklık metotları
Bu çalışmada, uygun zaman skalaları üzerinde istatistiksel yakınsaklık, lacunary istatistiksel yakınsaklık, kuvvetli Cesàro yakınsaklık, kuvvetli lacunary Cesàro yakınsaklık kavramları tanımlanmış ve bunlarla ilgili çeşitli karakterizasyon ve içerme teoremleri elde edilmiştir. Üstelik fonksiyonlara ve de tanımlı olduğu zaman skalalarına çeşitli koşullar ekleyerek bazı Tauber tipi sonuçlara ulaşılmıştır. Bu sayede toplanabilme teorisinde klasik sayı dizileri için iyi bilinen Hardy'nin Tauber teoremi geliştirilmiştir. Ayrıca elde edilen teoremlerin bazı uygulamalarına ve özel hallerine değinilmiştir.
Cantor minimal sistemlerin topolojik tam grupları
Bu tezde Cantor Kümesi'nin minimal homeomorfizmalarının topolojik tam grubunun yapısı incelenmiştir. Bu grupların incelenmesi yakın zamanlarda başlamış olup, Gruplar Teorisi'ndeki önemi; sonsuz, sonlu üretilen, basit ve uyumlu grupların ilk örneklerinin bu sınıftan oluşturulması ile artmıştır. Bu grupların Dinamik Sistemler ile olan bağlantısı, Gruplar Teorisi ile Dinamik Sistemler Teorisi arasında köprü görevi görmektedir. Bu çalışmada bu bağlantı incelenip, topolojik tam grupların izomorfik olması ile iki dinamik sistemin eşlenik olması arasındaki ilişki ortaya konmuştur. Ayrıca topolojik tam grubunun cebirsel özellikleri detaylı bir şekilde irdelenmiştir.
Tek gecikme içeren reaksiyon-difüzyon sistemleri için hopf çatallanma analizi algoritması ve uygulamaları
Bu tezde, tek gecikme içeren ve Neumann sınır koşullarına sahip reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bir sınıfında gecikme teriminin değişimine bağlı olarak ortaya çıkan periyodik çözümlerin varlığı ve özellikleri analiz edilmiştir. Bunun için, gecikme terimi çatallanma parametresi olarak alınıp bahsi geçen sistem sınıfında Hopf çatallanmanın ortaya çıktığı koşullar belirlenmiştir. Bu şekilde varlığı garanti edilen periyodik çözümlerin özelliklerini belirlemek için ise sistem merkez manifolduna indirgenmiştir. Aynı sınıfa ait farklı problemler için bu adımların tekrarını engellemek amacıyla bir algoritma oluşturulmuştur. Bu algoritma, Hopf çatallanma varlık analizini sadece sistemin karakteristik denkleminin katsayılarını kullanarak ve yön analizini ise sadece sistemdeki fonksiyonların Taylor serilerindeki birinci ve ikinci mertebeden türevlere karşılık gelen katsayıları kullanarak tamamlamayı sağlayacak koşullar ve formüllerden oluşmaktadır. Böylece, bu tez çalışması ile tek gecikme içeren reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bahsi geçen sınıfı tamamen analiz edilmiştir. Elde edilen algoritma ile bu sınıfa ait dört farklı problemin Hopf çatallanma analizleri yapılmış ve böylece algoritmanın uygulanabilirliği gösterilmiştir. Ayrıca bu problemler ile difüzyon teriminin sistemlerin dinamiği üzerindeki etkisi tartışılmıştır.
Dereceli kümeler teorisinde temel teoremlerin sezgisel genişlemeleri ve başlangıç değer problemlerine bazı uygulamaları
Bu tez çalışmasında, dereceli kümeler teorisinde önemli olan bazı tanım ve teoremler sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlık ve tekliği Hukuhara ve kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında incelenmiştir. Bunun için öncelikle dereceli sayılar için verilen karakterizasyon teoremleri sezgisel dereceli sayılara genişletilerek bu sayıların α ve β kesitleri incelenmiştir. Sezgisel dereceli sayıların Minkowski toplamı ve skalerle çarpımı α ve β kesitler yardımıyla tanımlandıktan sonra sezgisel dereceli sayılar uzayının bu iki işlem altında kapalı oldugu ispatlanmıştır. Bu işlemler yardımıyla sezgisel dereceli sayıların Hukuhara ve genelleştirilmiş Hukuhara farklarının bazı özellikleri ifade edilip ispatlanmıştır. Hausdorff metriği yardımıyla, sezgisel dereceli sayılar uzayında D∞ metrigi tanımlandıktan sonra bu metriğin bazı temel özellikleri verilmiştir ve sezgisel dereceli sayılar uzayının D∞ metriği altında tam oldugu ispat edilmiştir. Bu teorem yardımıyla sürekli sezgisel dereceli sayı değerli fonksiyonlar uzayında Ds metriği tanımlanmıştır ve bu uzayın Ds metrigi altında tam oldugu ispatlanmıştır. Dereceli kümeler için tanımlanmış olan Hukuhara türevi, kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları sezgisel dereceli kümelere genişletilerek, bu kavramların bazı temel özellikleri α ve β kesitler yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Sezgisel dereceli sayılar için tanımlanan Hukuhara türevi ve Aumann integrali kavramları arasındaki ilişki, analizin temel teoremleri yardımıyla ifade edilip ispatlanmıştır. Bu tanım ve teoremler kullanılarak Hukuhara ve kuvvetli genelleştirilmiş Hukuhara türevleri altında birinci mertebeden sezgisel dereceli başlangıç değer problemerinin çözümlerinin varlık ve tekliği, Banach sabit nokta teoremi yardımıyla ispatlanmıştır. Son olarak Zadeh'in genişleme ilkesi yardımıyla ikinci mertebeden lineer sezgisel dereceli başlangıç değer problemlerinin çözümlerini veren bir teorem ifade edilip ispatlanmıştır ve elde ettigimiz sonuçlar nümerik örneklerle desteklenmiştir.
Dereceli mantıkta türevler ve bazı uygulamaları
Bu tezde, dereceli küme kavramı ve temel özellikleri verilmiş ardından dereceli sayı ve dereceli sayılar arasındaki önemli aritmetik işlemler incelenmiştir. Ayrıca dereceli diferensiyel denklemler için temel araç olan dereceli mantıkta türev kavramları incelenmiş ve uygulamalarına yer verilmiştir. Uygulamalar bölümünde ise nümerik simülasyonlar kullanılarak doğum ve ölüm oranı sabit SIR epidemik modelinin dereceli mantık yaklaşımıyla analizi yapılmıştır. Son olarak ekonomideki temel büyüme modellerinden Solow büyüme modeli için dereceli çözümler elde edilerek ekonomi analizi açısından önemi gösterilmiştir.
Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modelinin kararlılık ve Neimark-Sacker çatallanma analizi
Bu tezde, Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Bu model diferensiyel denklem sistemi ile tanımlanan av-avcı popülasyon modelinden Euler metodu kullanılarak elde edilmiştir. Analiz edilen model aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi fark denklemleri ile ifade edilmiştir. İlk olarak ayrık av-avcı modelinin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra Merkez Manifold Teoremi ve Çatallanma Teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı parametre değerleri belirlenmiştir. Son olarak, bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir.
Toplam süreci yardımıyla lineer olmayan operatörlerin yaklaşım özelliklerinin çalışılması
Bu tezde konvolüsyon tipindeki lineer olmayan integral operatörlerinin toplanabilme metotları yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Toplanabilme metotlarının kullanımı sayesinde bilinen yaklaşım sonuçlarının daha genel versiyonları elde edilmiştir. Bilindiği üzere bir toplanabilme metodu, ıraksak bir diziyi (bir anlamda) yakınsak yapabildiği gibi yakınsak bir dizinin de yakınsama oranını hızlandırabilmektedir. Örneğin, sürekli ve periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi ıraksak olabilse de onun aritmetik ortalaması (yani, Cesàro toplamı) daima fonksiyonun kendisine yakınsar. Bir diğer örnek ise, yakınsak bir dizinin uygun bir alt dizi matris dönüşümü, dizinin yakınsaklık oranını hızlandırır. Tüm bu durumlar toplanabilme teorisinin önemini ortaya koymaktadır. Toplanabilme teorisi şimdiye kadar yaklaşımlar teorisi başta olmak üzere matematiğin birçok alanında yer almaktadır. Örneğin fonksiyonlar teorisinde analitik devam ilkesinde, uygulamalı matematikte lineer denklem sistemlerinin çözümleri için iterasyon metotlarının üretiminde ve yukarıda belirtildiği üzere yaklaşımlar teorisinde Fourier serilerinin yakınsamasında kullanılmıştır. Bu tezde, Bell tarafından 1971 yılında tanımlanan genel bir toplanabilme metodu, ilk kez lineer olmayan operatörlerin yaklaşımında kullanılmıştır. Bu sayede Angeloni ve Vinti'nin 2006 yılında elde ettikleri sonuçlar geliştirilmiştir. Bu çalışmada negatif olmayan regüler matris aileleri göz önüne alınmıştır. Toplanabilme metodu, klasik yakınsaklığın yanı sıra, Cesàro tarafından verilen aritmetik ortalama yakınsaklık, Lorentz tarafından verilen hemen hemen yakınsaklık ve Jurkat ve Peyerimhoff tarafından verilen dereceli yakınsaklık gibi bilinen pek çok yakınsaklık metodunu içermektedir. Lineer olmayan operatörler ile önce tek değişkenli ve 2pi periyotlu fonksiyonlara daha sonra da çok değişkenli fonksiyonlara yaklaşılmıştır. Yaklaşımlarda hem salınım yarı-normu hem de klasik supremum normu göz önüne alınacaktır. Salınım yarı-normuna göre yaklaşımda sınırlı salınımlı fonksiyonlar kullanılırken, supremum normuna göre yaklaşımda ise düzgün sürekli fonksiyonlar dikkate alınmıştır. Daha sonra uygun Lipschitz sınıfları yardımıyla yakınsaklık oranları hesaplanmıştır. Elde edilen yaklaşım sonuçları kullanılarak mutlak süreklilik ve düzgün süreklilik için bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Son olarak, tezde ispatlanan yaklaşım sonuçlarını desteklemek için çeşitli operatör dizileri inşa edilmiş ve bunların yaklaşımı grafikler üzerinden gösterilmiş ve hata tahminleri de sayısal olarak hesaplanmıştır. Lineer olmayan operatörler üzerinde inceleme yapılması ve toplanabilme teorisindeki yöntemlerin etkin bir şekilde kullanılması göz önüne alındığında bu tezde elde edilen sonuçlar, literatüre özgün bir katkı sunmuş olup gelecekte konuyla ilgili yapılacak incelemeler için de bir temel olacağını ümit ederiz.
İki hisse senedi ve bir yatırımcı grup içeren finansal piyasaların matematiksel modellemesi ve kararlılık analizleri
Bu tezde, iki hisse senedi ve benzer yatırım stratejilerine sahip homojen bir yatırımcı grup içeren bir finansal piyasa için matematiksel model verilmiştir. Piyasadaki nakit miktarının ve hisse senedi sayılarının sabit olduğu ve yatırımcı grubun hisse senedi satın alırken ya da hisse senedini satarken hisse senedi fiyatının yönüne (trend) ve hisse senedinin değerlenmesine göre karar verdiği varsayılmıştır. Ayrıca, yatırımcıların hisse senedi satın alırken her iki hisse senedinin fiyatına bağlı bir strateji, fakat hisse senedi satarken diğer hisse senedi fiyatına bağlı olmayan bir strateji izlediği kabul edilmiştir. Bu varsayımlar ve temel mikroekonomik prensipler kullanılarak dinamik sistemler yaklaşımı ile bir matematiksel model elde edilmiştir. Yatırımcıların her bir hisse senedi için hisse senedinin değerlenmesine bağlı strateji izlemesi durumunda matematiksel modelin denge noktaları belirlenerek kararlılık analizleri çalışılmıştır. Denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında bir hisse senedi için, sadece bu hisse senedi fiyatının yönünden, diğer hisse senedi için ise sadece bu hisse senedinin değerlenmesinden (ya da değer kaybetmesinden) etkilenmesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcıların yatırım tercihlerini belirleyen geçiş oranı fonksiyonları için uygun fonksiyonlar seçilerek tezin birinci kısmında elde edilen model için bir örnek model oluşturulmuştur. Eğer yatırımcı grup her iki hisse senedi için alım satım yaparken sadece hisse senetleri fiyatları için belirlenen değere bağlı bir strateji izlerse, modelin denge noktalarının kararlı olduğu ispatlanmıştır. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında her bir hisse senedi için farklı etkilere dayalı yatırım stratejisi (yani bir hisse senedi için sadece bu hisse senedi fiyatının yönüne, diğer hisse senedi için ise sadece hisse senedinin değerlenmesine bağlı olan yatırım stratejisi) izlemesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Ayrıca, hisse senedi fiyatının yönüne bağlı büyüklük parametresi (momentum katsayısı) çatallanma parametresi seçilerek sistemde periyodik çözümlerin ortaya çıktığı Hopf çatallanma analizi ile gösterilmiştir. Son olarak, analitik sonuçları desteklemek ve genişletmek için örnekler ve nümerik simülasyonlar verilmiştir.
Kod tabanlı kuantum sonrası bazı şifreleme algoritmaları ve anahtar kapsülleme mekanizmalarının incelenmesi
Bu tezde NIST çağrısında sunulan kod tabanlı bazı anahtar kapsülleme mekanizmaları ve şifreleme algoritmalarının incelemesi yapılmıştır. Bu algoritmalarda başta McEliece şifreleme sistemi temel alınmış ve bazı iyileştirmeler yapılarak kuantum sonrası dayanıklılıkları sağlanmaya çalışılmıştır. Bu bağlamda öncelikle McEliece şifreleme sisteminden bahsedilmiştir. İlk olarak detayları verilecek olan algoritmalarda kullanılan LRPC ve Goppa kod ailelerinin özelliklerine yer verilmiştir. Algoritmaların anahtar üretimi, şifreleme ve şifre çözme adımları ayrıntılarıyla verilmiş daha sonra tüm süreç örneklerle birlikte gösterilmiştir. Son olarak bu üç algoritmanın parametre uzunlukları karşılaştırılmıştır.
Lineer indirgeme dizilerinin bazı ters toplamlarının hesaplanması
Bu tezde, $U_{0}=0$, $U_{1}=1$ ve $V_{0}=2$, $V_{1}=p$ başlangıç koşulları olmak üzere her $n\ge{2}$ için \begin{equation*} U_{n}=pU_{n-1}+rU_{n-2}\text{ ve }V_{n}=pV_{n-1}+rV_{n-2}, \end{equation*}% kuralları ile tanımlanan ikinci basamaktan lineer homojen indirgeme dizileri $\lbrace U_{n}\rbrace$ ve $\lbrace V_{n}\rbrace$ ile çalışacağız. Bu dizilerin terimlerini ihtiva eden aşağıdaki ters toplamları hesaplayacağız: \begin{equation*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-r)^{k}\frac{V_{k+d+1}}{U_{k+d}U_{k+d+1}U_{k+d+2}}\text{ \ \ \ \ ,\ \ \ \ }\sum\limits_{k=0}^{n}(-r)^{k}\frac{U_{k-d}}{U_{k+d}U_{k+d+1}U_{k+d+2}} \end{equation*} ve $X_{n}$, $U_{n}$ ya da $V_{n}$ olmak üzere \begin{equation*} \sum\limits_{k=0}^{n}(-r)^{k}\frac{U_{k+c}U_{k+c+1}\ldots U_{k+c+m-1}}{ X_{k+d}X_{k+d+1}\ldots X_{k+d+m+1}}. \end{equation*}
BCH, QC-MDPC, gabidulin kodlarının kriptografik uygulamaları ve bazı kod tabanlı kuantum sonrası algoritmaların performans analizleri
Bu tezde, NIST'in düzenlediği Kuantum Sonrası Kriptografi Standartlaştırma çağrısı kapsamında aday gösterilen kod tabanlı kuantum sonrası algoritmalardan bazıları incelenmiş ve 128-bit, 192-bit, 256-bit güvenlik seviyeleri için belirli bilgisayarlarda çalıştırılarak performansları ölçülmüştür. Bu kapsamda öne çıkan HQC ve BIKE algoritmaları incelenmiştir. Bunun yanı sıra HQC ile temel özellikleri benzer olan RQC aday algoritması da ele alınmıştır. Bu amaçla algoritmalarda kullanılan BCH, QC-MDPC ve Gabidulin kod aileleri incelenmiş ve örneklendirilmiştir. Ayrıca, BCH kod ailesini kullanan HQC algoritmasının çalışma adımları örnek üzerinde gerçeklenmiştir.
Genel toplanabilme metodu ile Bernsteın-Chlodovsky tipioperatörlerin yaklaşımı
Bu yüksek lisans tezinde toplanabilme teorisindeki yöntemler ile özellikle de regüler toplanabilme matrisleri kullanılarak Bernstein-Chlodovsky operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir ve yaklaşımdaki yakınsaklık oranları hesaplanmıştır. Bilindiği üzere Weierstrass Yaklaşım Teoremi ifade etmektedir ki, kapalı bir [a,b] aralığı üzerinde sürekli olan her fonksiyona, polinomlarla düzgün olarak yaklaşılabilir. Bu teoremin ilk orijinal versiyonu 1885 yılında Weierstrass tarafından verilmiştir. Daha sonra Bernstein, 1912 yılında tanımladığı polinomlarla bu teoremin in¸saya dayanan bir başka ispatını vermiştir. Bu yaklaşım fikri pek çok araştırmacı tarafından uygulanmış ve bu durum yeni ve etkin yaklaşım operatörlerinin tanımlanmasına imkan sağlamıştır. 1937 yılında Chlodovsky, [0;+∞) aralığında tanımlı olan fonksiyonlara yaklaşabilmek için Bernstein'nın polinomlarını genelleştirmiştir. Daha sonra bu alanda günümüze kadar literatürde pek çok çalışma yapılmıştır. Fakat bu çalışmaların hemen hemen tamamında yaklaşımın gerçeklenebilmesi için lim(bn/n)=0 n→∞ zayıflatılması amaçlanmıştır. Hatırlatmalıyız ki regüler toplabilme metotları, örneğin aritmetik ortalama yakınsaklık metodu, yakınsak dizileri koruduğu gibi klasik anlamda yakınsak olmayan pek çok diziyi de toplayabilmektedir. Dolayısıyla toplanabilme metotlarıyla elde edilecek yaklaşım teoremleri, klasik sonuçları bir adım daha ileriye götürmektedir. Literatürde pozitif lineer operatörlerin yaklaşımlarında toplanabilme metotları sıklıkla kullanılmasına rağmen Bernstein-Chlodovsky operatörlerinin yaklaşımı üzerinde henüz bu yönde bir inceleme yapılmamıştır. Bu tez çalışmasında literatürdeki bu bo¸slu˘gun doldurulması hedeflenmiştir. Tezde öncelikle klasik Bernstein-Chlodovsky operatörlerinin yaklaşım özellikleri hatırlatılacak, sonra bunların toplanabilme metotları yardımıyla bir modifikasyonu tanımlanacak ve daha sonra da bu yeni operatörün klasik yaklaşımdan daha genel ve güçlü yaklaşım özelliklerine ulaşılacaktır. Yakınsaklık oranları da hesaplanacaktır. Bunun için yaklaşımlar teorisinde önemli bir araç olan süreklilik modülü kavramı kullanılacaktır. Klasik durumu gerçeklemeyen fakat bu yeni modifikasyona göre yaklaşıma imkan sağlayan bir uygulama verilecek ve sonuçlar grafiksel olarak gözlemlenecektir. Tezin bir diğer hedefi ise elde edilen sonuçların çok değişkenli fonksiyonlara aktarılması üzerine olacaktır. Burada genel bir yaklaşım teoremi verildikten sonra özellikle iki değişkenli fonksiyonlara yaklaşım durumu grafiklerle desteklenecektir. Son olarak, tezde elde edilen sonuçlar tartışılacak ve gelecekte konuyla ilgili yapılabilecek olası araştırmalar değerlendirilecektir.
Maksimum-minimum operatörleriyle yaklaşımın genelleştirilmesi
Bu tezde, Bede ve arkadaşları tarafından 2008 yılında tanımlanan maksimum-minimum operatörlerinin yaklaşım özellikleri sistematik olarak çalışılmıştır. Maksimum-minimum operatörleri lineerlikten daha zayıf bir kavram olan zayıf-lineerlik (pseudo-linearity) koşulunu sağladığından dolayı klasik Korovkin yaklaşım teoremi bu operatörler için gerçeklenmemektedir. Bu nedenle öncelikle, maksimum-minimum operatörleri için genel bir yaklaşım teoremi elde edilmiş ve bu yaklaşım için yakınsaklık oranları hesaplamıştır. Özellikle de Hölder sürekli fonksiyonlar için hata tahmini verilmiştir. Yaklaşım teoreminin özel halleri göz önüne alınarak maksimum-minimum Shepard ve maksimum-minimum Bernstein operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu sayede hem tek değişkenli hem de iki değişkenli sürekli fonksiyonlara maksimum-minimum operatörleriyle klasik yaklaşımın varlığı ispatlanmış ve bu durum grafik gösterimleriyle desteklenmiştir. Ayrıca bu operatörlerle sözde-konkav (pseudo-concave) fonksiyonlara yaklaşılabileceği de gösterilmiş ve grafik gösterimleriyle doğrulanmıştır. Daha sonra bazı şekil koruma özellikleri de çalışılmıştır. Maksimum-minimum Bernstein operatörlerinin monotonluğu korumasına rağmen, maksimum-minimum Shepard operatörlerinin monotonluğu korumadığına dair örnekler verilmiştir. Uygulamalar için verilen örneklerde yaklaşımın sadece [0, 1] aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar için değil herhangi bir [a, b] kapalı ve sınırlı aralığında sürekli olan fonksiyonlar için de gerçeklendiği gösterilmiştir. Bell tarafından 1971 yılında tanımlanan regüler toplanabilme metotları yardımıyla elde edilen klasik yaklaşım teoremleri geliştirilmiştir. Böylelikle klasik yaklaşımın gerçeklenmediği durumlar için alternatif çözüm yolları sunulmuştur. Özel regüler toplanabilme metotları kullanılarak maksimum-minimum Shepard operatörleri ile hem tek değişkenli hem de iki değişkenli sürekli fonksiyonlara yaklaşım yapılmıştır. Artimetik ortalama yakınsaklık ve hemen hemen yakınsaklık gibi klasik anlamdaki yakınsaklıktan daha zayıf metotlar ile yaklaşımın varlığı ispatlanmıştır. Bu yaklaşımlar için de yakınsaklık oranları toplanabilme metotları yardımıyla hesaplanmıştır.
Sinir ağı operatörlerinin toplanabilirliğinin incelenmesi
Bu doktora tezinde sinir ağı operatörlerinin yaklaşım özellikleri tüm yönleriyle ele alınmıştır. Mühendislikten tıpa, finanstan bilgisayar teknolojilerine kadar geniş bir yelpazede uygulama alanına sahip olan yapay sinir ağları, yaklaşımlar teorisinde ilk kez 1989 yılında Cybenko tarafından ele alınmış ve daha sonra 1997 yılında Cardaliaguet, Euvrard ve Anastassiou tarafından geliştirilmiştir. Sinir ağı operatörleri yardımıyla düzgün sürekli fonksiyonlara tüm reel eksen üzerinde noktasal olarak yaklaşılabileceği bilinmektedir. Fakat, sinir ağı operatörlerinin test fonksiyonlarındaki değerlerini analitik olarak hesaplamak genellikle oldukça güç olduğundan buradaki yaklaşımı elde edebilmek için klasik Korovkin Teoremi uygulamak da çoğu zaman kullanışlı değildir. Tez çalışmamızda ilk olarak çan tipindeki aktivasyon fonksiyonları yardımıyla tanımlanan lineer yapıdaki sinir ağı operatörlerini modifiye ederek düzgün sürekli fonksiyonlara düzgün olarak yaklaşmasını sağladık. Daha sonra da klasik yaklaşımın gerçeklenmediği durumlar için negatif olmayan regüler toplanabilme metotlarından yararlandık. Bilindiği üzere matematiksel analizde bir toplanabilme metodu, klasik anlamda yakınsak olmayan bir dizinin (veya bir serinin) yakınsamasını sağlamanın alternatif bir yöntemidir. Elde ettiğimiz yaklaşım sonuçlarını desteklemek üzere çeşitli matematiksel yazılım programlarından yararlanarak grafiksel gösterimler elde ettik. Daha sonra çalışmalarımızı çok değişkenli fonksiyonlar teorisi üzerine genişlettik. Tezin ikinci kısmında ise maksimum-çarpım işlemleri yardımıyla lineer olmayan yapıdaki sinir ağı operatörlerini ele aldık. Benzer yaklaşım sonuçlarının lineer olmayan durum için de geçerli olduğunu kanıtladık. Literatürde toplanabilme teorisi teknikleri yaklaşımlar teorisinde sıklıkla kullanılmış olmasına rağmen sinir ağı operatörlerinin yaklaşımında bildiğimiz kadarıyla henüz bu yönde bir çalışma yapılmamış olması tez çalışmamıza özgünlük katmaktadır.
Enfeksiyon hastalıklarının yayılmasında bazı dönemsel dinamiklerin matematiksel modellemesi
Bu tezde, kızamık hastalığının yayılma dinamiklerine uygun olarak seçilen, literatürdeki isimleriyle SIR, SEIR ve SVEIR tipinde sabit parametreli kompartıman bazlı modeller ele alınmış ve bu modellerin matematiksel analizleri gerçekleştirilmiştir. Demografik değişiklikler ile göç ve aşılama süreçlerinin etkisi altında salgının ortaya çıkması için varsa bir salgın üretme eşik değeri hesaplanmıştır ve bu değer sistemin denge noktalarının kararlılık durumu ile ilişkilendirilmiştir. Ardından hastalığın tamamen ortadan kalkmadığı ve dönemsel alevlenmeler gösterdiği durumları incelemek üzere demografik yapıya sahip SIR modelinde bulaşma hızı zamana bağlı bir fonksiyon olarak seçilmiş, burada salgın üretme eşik değerinin sabit parametreli durumdan farklı olarak tartışılması gerektiği gösterilmiş ve salgının zirve yapacağı t anı hesaplanmıştır. Çalışmanın sonuçları, kızamık hastalığının yayılma dinamiklerine uygun olarak oluşturulan senaryolara özgü sayısal simülasyonlarla desteklenmiştir.
Sığınak etkisi içeren lotka-volterra tipi bir ayrık av-avcı modelinin lokal kararlılık ve çatallanma analizi
Bu tezde sığınak etkisi içeren Lotka-Volterra tipi bir ayrık av-avcı modeli ele alınmıştır. Çalışılan model, sürekli zamanlı bir popülasyon modelinden Euler metodu ile elde edilmiştir. Analize daha az parametreyle devam edebilmek için öncelikle sistem boyutsuzlaştırılmış, devamında boyutsuz sistemin denge noktaları bulunmuştur. Her bir denge noktası için lokal kararlılık analizi yapılarak sistemin dinamiği incelenmiştir. Ayrıca pozitif denge noktasında flip ve Neimark-Sacker çatallanmanın varlığı analitik olarak gösterilmiştir. Tüm bu analizler sığınak etkisini incelemek için önce sığınak etkisi içermeyen model, sonrasında sığınak etkisi içeren model için yapılmış ve elde edilen sonuçlar kıyaslanmıştır. Bu teorik sonuçlar nümerik simülasyonlarla desteklenmiştir.
Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasının amacı, HIV, tümör ve bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki biyolojik dinamiği matematiksel model kullanarak araştırmaktır. Tez çalışması, bu biyolojik dinamiği tasvir eden iki farklı matematiksel modelden oluşmaktadır. Matematiksel modeller, dinamik sistemler yaklaşımıyla ifade edilmiştir. Modellerdeki popülasyonların zamana göre değişimleri adi diferensiyel denklemler kullanılarak tanımlanmıştır. Modellerin analizindeki ilk adım olarak, ifade edilen diferensiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin tekliği ve pozitifliği gösterilmiştir. Bu adım, modeller biyolojik bir dinamik tasvir ettiğinden gereklidir. Devamında, dinamik sistemlerin pozitif denge noktaları belirlenmiştir. Birinci sisteme ait denge noktalarının global asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Bu sistem için enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak belirlenmiştir. Bu sisteme gerekli noktalara iki farklı zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiş; böylece dinamik sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amaçlanmıştır. Elde edilen yeni gecikmeli sistemin davranışları analiz edilmiştir. Bu analizlerde, gecikme terimleri çatallanma parametresi olarak seçilerek; fold-Hopf çatallanmanın varlık analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar bulunmuştur. İkinci sistemde, denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Ek olarak, enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak ifade edilmiştir. Sistemdeki denge noktalarının kararlılık yapılarından yola çıkılarak, transkritik çatallanmanın varlığı araştırılmıştır. Normal form teorisi kullanılarak, sistemin transkritik çatallanmaya ait normal formu elde edilmiştir. İlk modeldeki bakış açısına benzer şekilde, sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amacıyla zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiştir. Elde edilen yeni sistemin davranışlarının analizi, çatallanma parametresi olarak gecikme terimi seçilerek tamamlanmıştır. Hopf çatallanmanın varlık ve yön analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar belirlenmiş; ayrıca bu periyodik çözümlerin özellikleri, sistemin merkez manifolduna indirgenmesiyle bulunmuştur. Son olarak, çalışılan tüm sistemler için elde edilen teorik ve analitik sonuçlar, nümerik olarak desteklenmiş ve genişletilmiştir. Bunun için MATLAB programı kullanılmıştır.
Fibonacci küplerinin Roman tipi baskınlık sayıları
Bağlantı ağları çoklu bilgisayarların iletişim ihtiyaçları için geliştirilmiştir. Bağlantı ağları, köşe kümesi V(G) ve kenar kümesi E(G) olan bir G = (V(G),E(G)) çizgesi ile temsil edilebilir. Burada V(G) kümesi işlemcileri, E(G) kümesi ise iletişim ağlarını gösterir. En temel bağlantı ağı modellerinden biri n boyutlu hiperküp Qn çizgesidir. Bu çizgenin köşeleri uzunluğu n olan tüm ikili diziler ile etiketlenirken, sadece birer koordinatı farklı olan köşelerin birleştirilmesi ile kenar kümesi oluşturulur. n boyutlu Fibonacci küpü Γn, Qn çizgesinin köşe kümesinden ardışık bir içeren tüm köşelerin çıkarılması ile elde edilir. G bir çizge ve D kümesi G çizgesinin köşe kümesi olan V kümesinin bir alt kümesi olsun. V kümesindeki her bir köşe, D kümesinin bir elemanı veya D kümesinin bir elemanına komşu ise D kümesine baskın köşe kümesi denir. Baskın köşe kümelerinden en az elemanlı olanlarına minimal baskın küme ve bu kümenin eleman sayısına G çizgesinin baskınlık sayısı denir. Literatürde Fibonacci küplerinin bazı baskınlık tipi sayıları bilinmektedir. Fakat, savaş stratejisi olarak geliştirilen ve yardım kaynağı paylaşımı problemine de uygulanabilir olan Roman baskınlık problemi Fibonacci küpleri için literatürde çalışılmamıştır. Bu tezde, Roman baskınlık sayısı, zayıf Roman baskınlık sayısı ve çift Roman baskınlık sayısı olmak üzere üç adet Roman tipi baskınlık sayıları ele alınmıştır. Tam sayı lineer programlama problemleri çözülerek Fibonacci küpleri için bu baskınlık sayıları n ≤ 10 olmak üzere hesaplanmış ve 11 ≤ n ≤ 13 boyutları için en iyi alt ve üst sınırlar elde edilmiştir.
Lucas küplerinde bazı baskınlık tipi değişmezleri
Ara bağlantı ağlarının çalışılma sebeblerinden biri çoğul bilgisayarların iletişim ihtiyaçlarıdır. Ara bağlantı ağları matematiksel olarak, köşe kümesi $V(G)$ ve kenar kümesi $E(G)$ olan bir $G=(V(G),E(G))$ çizgesi şeklinde gösterilmektedir. $V(G)$ kümesi işlemcileri, $E(G)$ kümesi ise iletişim ağlarını temsil eder. Bağlantı ağı modelleri konusunda esas olarak alabileceğimiz $n$ boyutlu hiperküp $Q_n$ çizgesidir. Hiperküpün köşeleri uzunluğu $n$ olan bütün ikili diziler ile gösterilirken, bir biti farklı olan köşeleri eşleştirerek kenar kümesi elde edilir. $n$ boyutlu Fibonacci küpü $\Gamma_n$, $Q_n$ çizgesinin köşe kümesinden ardışık bir içeren tüm köşeleri çıkararak, Lucas küpü $ \Lambda_n$ ise $\Gamma_n$ çizgesindeki başında ve sonunda aynı anda bir olan köşelerin çıkarılması ile oluşturulmuştur . Literatürde Lucas küpleri ile bazı baskınlık tipi değişmezleri çalışılmıştır ve baskınlık sayıları bilinmektedir. Bunun yanında şimdiye kadar çalışılmamış olan baskınlık sayıları da yer almaktadır. İşaretli baskınlık sayısı ve eşli baskınlık sayısı ve Roman tipi baskınlık problemi daha önce Lucas küplerinde çalışılmamıştır. Bu tezde, Eşli baskınlık sayısı, İşaretli baskınlık sayısı, Roman baskınlık sayısı, zayıf Roman baskınlık sayısı ve çift Roman baskınlık sayısı olmak üzere beş farklı Lucas küplerinde yeni baskınlık tipi değişmezleri ele alınmaktadır. Tam sayı lineer programlama problemlerinden faydalanılarak Lucas küplerinde bu baskınlık sayıları $n\leq 9$, $n\leq 10$ veya $n\leq 11$ olacak şekilde hesaplanmış ve $n\leq 13$ e kadar en iyi alt ve üst sınırlar bulunmuştur.
Sürekli ve ayrık popülasyon modellerinde Allee etkileri
Bu tezde, Allee etkisine sahip Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modeli ile sürekli av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Analiz edilen modeller aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi, ayrık sistem için fark denklemleri, sürekli sistem için adi diferensiyel denklemler ile ifade edilmiştir. İlk olarak ayrık av-avcı modeli ele alınarak modelin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra merkez manifold teoremi ve çatallanma teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı örnek parametre değerleri ele alınmış ve bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir. Tezin diğer yarısı ayrık sistemin Euler metodu kullanılarak elde edildiği sürekli av-avcı sistemi için ayrılmıştır. Ayrık sistemdeki temel analizler sürekli sistemde de benzer sırada takip edilmiştir. Öncelikle, sistemin denge noktasının lokal asimtotik kararlı olabilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra, bu pozitif denge noktasında görülen Hopf çatallanmanın varlık koşulları incelenmiştir. Bu çatallanmanın varlığı ise, çatallanma parametresi olarak Allee sabiti kullanılarak Hopf çatallanma teorisi ve normal form teorisi aracılığıyla gösterilmiştir. Yapılan analizlere göre, av popülasyonu üremek için eş bulmakta zorlandığından Allee etkisi av popülasyon yoğunluğunu azaltmıştır. Ek olarak, av popülasyonu avcı popülasyonları için birincil besin kaynağı olduğundan, Allee etkisi avcı popülasyon yoğunluğunu da azaltmıştır. Öte taraftan, daha düşük popülasyon yoğunluğunda, artan Allee etkisinin süperkritik Hopf çatallanmasına, güçlü Allee etkisinin ise subkritik Hopf çatallanmasına yol açtığını gözlenmiştir. Başka bir deyişle, Allee etkisi arttıkça kararlıdan kararsıza ve kararsızdan kararlıya doğru bir kararlılık geçişi söz konusudur. Dolayısıyla, Allee etkisi hem kararlı hem de kararsız limit döngüleri ortaya çıkarabildiğinden, sistemde farklı iki Hopf çatallanma görülmüştür. Çalışmanın devamında, Allee etkisinin hem av hem de avcı popülasyon dinamikleri üzerindeki etkisi nümerik örneklerle gözlenmiştir. Ayrıca, av-avcı sisteminin bu sistemi oluşturan tüm parametre değerlerine duyarlılığını incelemek için FAST yaklaşımı kullanılmıştır. Burada tek bir parametre değerindeki değişikliğin sistem dinamiği üzerindeki etkisine ek olarak, hangi parametrenin sistem çıktısı üzerinde en etkili olduğu belirlenmiştir. Tez çalışması kapsamında ele aldığımız modellerin analizi, av ve avcı popülasyonları arasındaki dengenin korunmasında Allee etkisinin önemini vurgulamaktadır. Bunların yanı sıra, elde ettiğimiz sonuçlar hem sürekli hem de ayrık av-avcı sistemlerini doğru bir şekilde modellemek ve anlamak için karmaşık ekolojik etkileşimleri dikkate almanın gerekliliğini vurgulamaktadır.
Özel yapılandırılmış matrisler ve bazı cebirsel özellikleri
Bu tezde, özel yapılandırılmış bazı kombinatoryal matris aileleri incelenmiştir. Bu matrislerin girdileri genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının q-versiyonları olarak tanımlanmıştır. Bu yeni matrislerin bazı cebirsel özellikleri (determinant, özdeğer, ters, LU ayrışım, ters matrislerin ayrışımları vb. cebirsel özelliklerini) elde edilmiştir. Elde edilen sonuçları ispatlamak için klasik ispat yöntemleri kullanılmıştır.