Department of Mathematics

Ext ve tor funktorlar

Kategori teorisi, matematik yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramıdır. "Soyut anlamsızlık" olarak da bilinir. Kategori çalışmaları; ilişkili matematiksel yapıların değişik sınıflarındaki genel olarak bulunanı; aralarındaki yapı muhafaza eden fonksiyonlarla onları ilişkilendirerek, aksiyomatik bir yaklaşımla elde etmeye çalışır. Kategori teorisi üzerine sistematik bir çalışma; bu tür matematiksel yapıların herhangi birisi hakkında, bir kategorinin aksiyomlarını kullanarak genel sonuçları ispat etmemize imkân verir.Kategori teorisinde, matematiğin bir kolu olarak; funktor, kategoriler arasında özel bir dönüşümdür. Funktorlar, küçük kategorilerin kategorisindeki morfizmler olarak düşünülebilir. Farklı kategorileri funktorlar aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir.Matematikçiler ?funktor? kelimesini filozof Carnap'tan almışlardır [1]. Funktorlar; ilk olarak cebirsel nesnelerin (temel grup gibi) topolojik uzaylarla ve cebirsel homomorfizmlerin sürekli dönüşümlerle ilişkilendirildiği, cebirsel topolojide kullanıldı. Şimdilerde; funktorlar, değişik kategorileri ilişkilendirmek için modern matematiğin tüm alanlarında kullanılmaktadır.Bu çalışmada; ikinci ve üçüncü bölümde kategori teorisi ve funktorlar hakkında temel bilgiler verilmiştir. Son bölümde ise; homolojik cebir temelinde önemli yer tutan, Ext ve Tor Funktorlar üzerinde durulmuştur.

Cebiroidlerin kategoriksel özellikleri

Bu yüksek lisans tezi, üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde çalışma boyunca kullanacağımız bazı temel kavramlara yer verilmiştir. İkinci ve üçüncü bölümde ise cebir ve cebiroidler üzerinde çaprazlanmış modül kavramları ve bunların arasındaki geçiş ayrıntılı olarak verilmiştir. Her iki yapı üzerindeki kategoriksel özelliklerle birlikte alt çaprazlanmış modüller, çaprazlanmış idealler ve çaprazlanmış bölüm modülleri kavramlarına yer verilmiştir.Anahtar Kelimeler : Cebir, Cebiroid, Çaprazlanmış Modüller.

Linux tabanlı FTP sunucularda, veri transferinde algoritmalar yardımıyla güvenli erişim yönetimi uygulaması

Gelişen bilişim teknolojileri sayesinde internet üzerinden bilgiye erişim kolaylaşmaktadır. İnternet yapısal olarak birçok bilgisayarın bir arada bulunduğu ağ topluluğudur. İnternet ortamındaki bazı bilgisayarların veri sunma (sunucu - server), barındırma, çalıştırma gibi görevleri vardır. Bu görev bilgisayarın sunduğu servise göre değişmektedir. Bir bilgisayar birden fazla servis için sunucu görevi üstlenebilir. Sunucu bilgisayar üzerindeki veri güvenliği ise günümüzde üzerinde durulması gereken önemli noktalardandır. Servisin devamlılığının sağlanabilmesi için güvenlik önkoşuldur. Güvenlik donanım, yazılım ve ortam güvenliği olarak temelde üç bölümde incelenebilir. Bu çalışma kapsamında yazılımsal güvenlik üzerinde durulmuştur. Bir bilgisayarın web servisi ve ftp servisi olarak hizmet sunması amaçlanmıştır. Birden fazla web sitesinin yayınlandığı bu bilgisayara ftp servis sunucu hizmeti de eklenerek, her kullanıcının kendi web sitesinin yayın yapıldığı alana güvenli olarak erişimi sağlanmaya çalışılmıştır. Bu kapsamda yapılan çalışmalarda RSA 2048 bitlik sertifika oluşturularak verilerin karşı tarafa (sunucu) güvenli kanal üzerinden iletimi gerçekleştirilmiştir. Ssl/Tls protokolü kullanılarak oluşturulan bu güvenli kanal uygulaması sunucu sistemlerinde genel olarak tercih edilen CentOS ve Arch Linux üzerinde gerçekleştirilmiştir.

Değme manifoldları

ÖZET Değme Monifoldlan A.Funda SA?LAMER Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü Danışman: Yrd.Doç.Dr. Mazlum ABAK Kasım - 1995 Bu tezde, değme manifoldları ve hemen hemen değme manifoldları incelenmiştir. Birinci bölümde bazı temel kavramlar, tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümü hemen hemen değme manifoldu, hemen hemen değme metrik manifold ve değme manifoldlarını çalışmaya ayırdık. Yine bu bölümde değme manifoldu ve değme metrik manifoldu örnekleri verdik. Üçüncü bölümde bir hemen hemen değme manifoldunun torsion tensör alanını tanımlayıp manifold üzerinde normal yapıyı kurduk. Üstelik bir K- değme manifoldu tanımlayıp manifoldun K-değme olması için bazı şartlar verdik. Dördüncü bölümde hemen hemen değme manifoldlarının yarı-invaryant altmanifoldlan incelenmiştir. Burada trans-Sasakian manifoldun tanımı yapılıp, bir trans- Sasakian manifoldun yarı-invaryant altmanifoldu üzerindeki D, D1, D ©{£} ve D © D1 distribüsyonlarının integrallenebilirliği çalışıldı. Yine bu bölümde karışık total geodezik yarı-invaryant altmanifoldlar ve total umbilik yarı-invaryant altmanifoldlar incelendi. Son olarak bir örnek verildi. Anahtar Kelimeler: hemen hemen değme yapı, tanjant demeti, hemen hemen kompleks yapı, normal yapı, K-değme manifoldu, Killing vektör alanı, distribüsyon.

Rasyonel interpolasyon yöntemleri ve uygulamaları

Bu tezde, lineer olmayan interpolasyon yöntemlerinden rasyonel interpolasyon yöntemleri incelendi. Bu yöntemler ile interpolasyon polinomlarının elde edilmesi ve rasyonel interpolasyon polinomlarının hesaplanma yöntemleri açıklandı ve bunlarla ilgili algoritmalar verildi. Ayrıca bu rasyonel interpolasyon yöntemlerinden rasyonel Hermite interpolasyon yöntemi kullanılarak açık ve kapalı formüller elde edildi. Bu formüller adi diferansiyel denklemler için başlangıç değer problemine uygulanarak elde edilen yaklaşık çözümler tam çözümler ile karşılaştırıldı.

İzdüşel doğrusal grupların sonlu altgrupları üzerine

1-boyutlu izdüşel doğrunun [x:y] elemanı ile genişletilmiş karmaşık düzlemin bir x/y elemanı eşleşir. C, karmaşık sayılar kümesi olmak üzere determinantı sıfırdan farklı 2×2 boyutlu karmaşık katsayılı matrislerin oluşturduğu grup genel doğrusal GL(2,C) grubu karmaşık düzlem üzerine matris çarpımı ile etkir. 1-boyutlu izdüşel doğru ile genişletilmiş karmaşık düzlem arasında bilinen özdeşliği kullanarak 1-boyutlu izdüşel doğru üzerindeki bu etkinin genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin etkisi ile aynı olduğunu görürüz.Doğrusal kesirli dönüşümler bileşke altında bir grup oluşturur. Bu grup GL(2,C)/Z(GL(2,C)) bölüm grubudur. Burada GL(2,C)'nin merkezidir ve GL(2,C)/Z(GL(2,C)):=PGL(2,C)'dir. Başka bir deyişle, genişletilmiş karmaşık düzlem üzerindeki doğrusal kesirli dönüşümlerin grubu, ki bu gruba Möbiüs grubu denir, PGL(2,C)'ye izomorftur. PGL(2,C) aynı zamanda Riemann küresinin otomorfizmalar grubudur.Öte yandan 3-boyutlu gerçel uzayda küre içine köşeleri küre üzerinde olacak şekilde düzgün konveks çokyüzlüler çizilebilir; bu çokyüzlüler Platonik cisimlerdir. Öklit uzayında Platonik bir P cismini koruyan izometriler, SO(3)'ün sonlu bir altgrubunu verir ve bu gruplar küre üzerine de etkir. Stereografik izdüşüm altında küreyi genişletilmiş karmaşık düzleme gönderirsek aynı grubun 1-boyutlu izdüşel doğru üzerine de etkidiğini, yani Platonik cisimlerin simetri gruplarının sonlu birer Möbiüs grubu olduğu sonucuna varırız. Bu amaçla karmaşık katsayılı doğrusal kesirli dönüşümlerin Möbiüs grubunun, yani PGL(2,C)'nin herhangi bir altgrubunun, kürenin simetrilerinin sonlu bir grubuna, yani n boyutlu devirli gruba, n boyutlu dihedral gruba ya da sırasıyla düzgün dörtyüzlünün, kübün ya da düzgün yirmiyüzlünün 4.dereceden alterne gruba, 4. dereceden simetrik gruba ve 5. dereden alterne gruba izomorf olduğu anlatıldı.Daha sonra doğrusal kesirli dönüşümler aynı zamanda sabit noktaları cinsinden yazılabileceği için doğrusal kesirli bir dönüşümünün sabit noktaları bulundu ve bu noktalar geometrik olarak yorumlandı. Son olarak 3-boyutlu gerçel uzayda Platonik bir cisminin bir simetrisinin bu cismi değişmez bırakan 3-boyutlu gerçel uzayın direkt bir izometrisi olduğu ve bu cismin tüm simetrilerinin bir grup oluşturduğu anlatıldı ve tüm Platonik cisimlerin Möbiüs grupları verildi.Anahtar kelimeler: İzdüşel doğrusal grup, Doğrusal kesirli dönüşüm, Platonik cisimler, Riemann küresi.

İki regüler Sturm-Liouville operatörünün özdeğerler farkının toplamı hakkında

İndirgenemez operatörler

Bu çalışmada, Banach latis üzerindeki pozitif operatörlerin çeşitli özelliklerine göre sınıflarını inceledik. Bunlar değişmez alt uzaylarına göre idealler ve bandlardır.Kompakt pozitif operatörler için spektral yarıçapın pozitifliğini garanti eden durumları sunduk. Özellikle Banach latis üzerinde kompakt yarınilpotent pozitif operatör 'ı sağlıyorsa; olacak şekilde T için aşikar olmayan kapalı latis hiperdeğişmez ideal J'nin varolduğu gösterilmiştir. Bunun benzeri bir sonuç latis hiperdeğişmez bandlar için de verildi.Ayrıca, band indirgenemez pozitif operatörlerin spektral yarıçapı tartışıldı. Band indirgenemez pozitif operatörler ? -sıralı sürekli özelliği altında incelendi.Anahtar kelimeler: Değişmez alt uzaylar, band, ideal, band indirgenemezlik, yarı iç nokta, genişleyen operatör, spektral yarıçap, yarınilpotent.

Bazı yarıgrup aileleri ve yapıları için sonluluk koşulları ve etkinlik

Bu çalışmada yarıgrup yapıları için bazı sonluluk koşulları incelenmiştir. ?, S üzerinde bir kongrüans olmak üzere, periyodiklik, yerel sonluluk, residual sonluluk, kelime probleminin çözülebilirliği ve yerel sonlu takdim edilebilirlik gibi sonluluk koşulları S, ? ve S/? yarıgrupları için incelenmiştir. I bir yarılatis, Si (i ? I) ayrık yarıgrupların bir ailesi ve S=S[I; Si, Øj,i] de { Si } i ? I yarıgruplarının bir güçlü yarılatisi olsun. Benzer şekilde S=S[I; Si, Øj,i] için de periyodiklik, yerel sonluluk ve sonlu takdim edilebilirlik gibi sonluluk koşulları incelenmiştir.G sonlu takdim edilebilir bir grup ve N de G nin herhangi bir sonlu indeksli normal alt grubu olsun. G üzerinde tanımlı?N ={(s,t): st-1 ? N }kongrüansının sonlu doğuraylı ve sonlu takdim edilebilir bir yarıgrup olduğu gösterilmiştir.

Bazı yarıgrup yapılarının sonlu takdim edilebilirliği

Bu çalışmada, S bir yarıgrup ve p da S üzerinde bir kongrüans olmak üzere, S/p nun sonlu takdim edilebilir olup olmadığı incelenmiştir. p kongrüansını SxS direk çarpım yarıgrubunun bir altyarıgrubu olarak ele aldık. p sonlu takdimli bir yarıgrup ise S ve S/p nun sonlu takdimli olduğu gösterilmiştir. Ayrıca p için verilen bir takdimden S ve S/p için takdimler inşa edilmiştir. I bir yarılatis, S(i) ayrık yarıgrupların bir ailesi ve S bu yarıgrupların bir güçlü yarılatisi olsun. S yarıgrubunun takdimi verildiğinde S(i) yarıgruplarının takdimini ve S(i) yarıgruplarının takdimleri verildiğinde S yarıgrubunun takdimi inşa edilmiştir. Ayrıca bulunan bu takdimler için sonlu takdimli olma koşulu incelenmiştir. Son olarak, yarıgrupların birleşimlerinin, yarıgrup bandlarının, monoid bandlarının veya yarıgrup yarılatislerinin sonlu takdim edilebilirliği araştırılmıştır.