Ağsız eleman bağımsız galerkin yönteminin optimizasyonu ve adaptif algoritmalarla uygulamaları

Bu çalışmada, diferensiyel denklemlerin çözümü için güncel yöntemler olarak kabul edilen ağsız yöntemler içerisinden Eleman Bağımsız Galerkin Yöntemi göz önüne alınmıştır. Eleman Bağımsız Galerkin yönteminde şekil fonksiyonları Hareketli En Küçük Kareler yöntemi ile elde edilmektedir. Ağsız yöntemler, sonlu elemanlar yöntemindeki belirli kurallara uyması gereken ağ inşa işlemini gerektirmeyerek, sayısal hesaplamaların daha pratik biçimde elde edilmesine imkân vermektedirler. Birinci bölümde hareketli en küçük kareler yöntemi ile elde edilen şekil fonksiyonlarının ötelemeye göre değişmez olması gibi bazı yeni özellikleri türetilerek, bu özellikler yardımıyla şekil fonksiyonları mevcut uygulamalara kıyasla çok daha az aritmetik işlem sayısı ile elde edilmiştir. Şekil fonksiyonlarının elde edilen bu özellikleri sistem matrisinin oluşturulma yükünü de büyük ölçüde azaltmıştır. Ayrıca 1 boyutlu problemlerde elde edilen yaklaşık çözümlerin duyarlılığını artırmak için adaptif algoritmalar önerilmiştir ve çözümü zamanla değişmeyen(stasyoner) problemler üzerinde test yapılmıştır. İkinci bölümde söz konusu adaptif algoritmalar zaman bağımlı ve tek boyutlu problemlere genişletilmiş ve lineer ve lineer olmayan problemler üzerinden uygulamalar gerçekleştirilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde ise bir boyutlu uzayda elde edilen şekil fonksiyonunun özelliklerinin 2 boyutlu uzayda da geçerli olduğu ispatlanarak sistem matrisini elde etmede gerekli aritmetik işlem sayısı önemli derecede azaltılmıştır. Ayrıca 2 boyutlu uzayda Hessian tabanlı adaptif bir algoritma önerilerek zaman bağımsız ve 2 boyutlu kısmi türevli denklemler üzerinde uygulamalar gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar önerilen adaptif algoritmalarla elde edilen sonuçların, düzgün ağ ile elde edilenlere kıyasla daha hassas olduğunu göstermektedir. Fakat artan adaptivite adımlarının, hesaplama yükünü artırdığından büyük boyutlu problemler için paralel algoritmaların kullanılması gerekli olabilir.