Measures on the boundary of the farey tree

Bu çalışmada, ağaçları, sınırlarını ve ağacların sınırları üzerindeki bazı özel Borel ölçülerini ele alıyoruz. Özellikle Farey ağacı üzerinde çalışıyoruz. Farey ağacı, köşeleri birim aralığındaki rasyonel sayılarla tanımlanan köklü bir ikili ağaçtır. Stern Brocot ağacının ilk sol koludur. Ağaçların sınırları üzerindeki topoloji bir metrik aracılığı ile tanımlanır, topoloji açık toplar tarafından gerilir. Ağacın sınırları üzerinde bazı özel Borel ölçüleri vardır. Minkowski ölçüsü ağacın otomorfizma gruplarının aksiyonu altında değişmez kalan tek ölçüdür. Denjoy ölçüsü ise Minkowski ölçüsünün genelleştirilmiş halidir. Sürekli kesir fonksiyonu birim aralıktan tanımlanır ve Gauss fonksiyonunun bir genelleştirilmesidir. Bu fonksiyonun formal tanımı 5. bölümde verilir. Bu tezde, ağaç yapısı kullanılarak tanımlanan sürekli kesir fonksiyonlarının daha geniş bir genellemesini ele alıyoruz. Bu bölümdeki amacımız, özel sürekli kesir fonksiyonu altında değişmeyen ölçüleri bulmaktır. Iddiamız f(y) = 1/y bu özel fonksiyon üyeleri altındaki değişmez bir ölçünün yoğunluğunu sağlar ve bu iddiamızı ispatlıyoruz. Son bölümde tezin geneli ile çok uyumlu olmayan bir çalışmamız var. Her sürekli kesir tasvirine bir kuvvet serisi iliştiriyoruz öyle ki bu kuvvet serisi yakınsaklık ve süreklilik gibi bazı güzel özelliklere sahip olsun.