Explicit reciprocity laws

Karesel karşılıklılık yasası ilk olarak L. Euler ve A. Legendre tarafından iddia edildi ve Gauss tarafından ispatlandı. Gauss daha yüksek alanlara bu ilişkinin ilk genellemelerini yapmış ve üçüncü ve dördüncü dereceden karşılıklılık yasalarını bulmuştur. Eisenstein ve Kummer bu yasaları $\mathbb{Q}(\zeta_p, \sqrt[n](a))$ araştırmış ve benzer kısmi sonuçlar elde etmi?lerdir. Hilbert, bu yasayı tanımlamaya yarayan sembolü cebirsel fonksiyon alanlarında diferansiyel kalana eşdeğer olan ba?ka bir sembolle tanımlamış ve bu yeni sembolün özelliklerini kullanarak $\mathbb{Q}(\zeta_p,\sqrt[n](a))$ alan?ndaki kar??l?kl?l?k yasas?n? en genel haliyle elde etmiştir. Say? alanlar?nda en genel karşılıklılık yasası Hilbert'in 1900 yılında Paris'teki meşhur konferansında sordu?u 24 sorundan 9.'sudur. Witt ve Schmid cebirsel fonksiyon alanları için bu soruyu tüm yönleriyle çözdü. Hasse ve Artin bu cebirsel sayi alanlari için karşılıklılık yasasının belli asallardaki Hilbert sembollerinin çarpımına eşit olduğunu kanıtladı. Ancak bu sembollerin değerlerini hesaplamak kolay degildi ve açik bir şekilde sembolleri hesaplamak için ilk metodu geliştiren Shafarevich'ten önce sadece bazı kısmi durumlar için hesaplamalar yapılabildi. Shafarevich'in yöntemi daha sonra Vostokov ve Brückner tarafindan geliştirildi. Bu gelişmelerle birlikte Hilbert'in 9. soru tamamen cevaplanmış oldu. Bu tezde, karşılıklılık ilişkisini hem cebirsel fonksiyon alanları için hem de cebirsel sayı alanları için ispatlayacağız. Hilbert sembollerinin hesaplaması için geli?tirilen yöntemleri ele alacağız.