Banach cebiri bakış açısıyla Kadison-Singer problemi

1959 yılında, Kadison ve Singer, B(ℓ2)'nin altuzayı olan D(ℓ2) üzerindeki her pure state'in tek bir sekilde B(ℓ2)'ye uzatılıp uzatılamayacağını sordular. 2013 yılına kadar açık olan bu problem, bir grup bilgisayar bilimcisi tarafından çözüldü. Büyük bir kısmı Akemann, Tanbay ve Ülger'e ait olan makaleye dayanan tezimde Kadison-Singer problemini ve bu probleme nasıl yaklaşıldığını öğrenmeye çalıştım. D(ℓ2) uzayını C(βN) olarak tanımlarsak, βN'ye ait her t elemanı için, δt'yi C(βN) üzerinde bir fonksiyonel olarak görebiliriz. [δt] kümesini, δt state'lerin B(H) uzayına uzatılmasıyla elde edilen küme olarak tanımlayalım. Amacımız [δt] kümesinin ne kadar büyük olduğunu anlamaktır. Söz konusu makalede von Neumann cebiri olan B(ℓ2)'nin Pelczynski özelliğine sahip olmasını kullanarak, [δt] kümesinin ya B(ℓ2)* uzayının sonlu boyutlu bir alt uzayı içinde olduğunu ya da zayıf-∗ topoloji içinde βN'nin bir homeomorfik kopyasını içerdiğini ispatlıyoruz. Bu sonucu, direkt bir ispatımız olmadığı halde [δt] kümesinin tek elemanlı olduğunu bilerek inceliyoruz.