M-kesirli türevler için Pompeiu ortalama değer teoremi ve eşitsizlik uygulamaları

İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literatürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. Son zamanlarda, bazı araştırmacılar klasik ortalama değer teoremini ve 1946 yılında Pompeiu tarafından sunulan Pompeiu ortalama değer teoremini kullanarak Ostrowski tipi eşitsizlikler elde etmişlerdir. Sonrasında, Pompeiu ortalama değer teoremini taban alan Ostrowski tipi eşitsizlikler fonksiyonların farklı sınıfları için birçok matematikçi tarafından incelenmiştir. Diğer yandan, kesirli hesaplamalar son zamanlarda matematiksel analiz için önemli bir alan haline geldi. Kesirli integraller ve türevler genellikle çok sayıda araştırmacı tarafından bilinmezdi ve sadece teorik matematik konularında kullanılmıştı. Ancak bu integraller ve türevler son zamanlarda matematiğin birçok uygulama alanında kullanılmaya başlanmıştır. Bu teori özellikle bilimin bazı alanlarında vazgeçilmez bir konuma geldi. Örneğin; bir kesirli türev olmadan viskoelastik bir süreç tanımlamak mümkün değildir. Uygulama alanlarının genişliğinden dolayı, lokal, uyumlu, alternatif ve M-kesirli gibi yeni kesirli hesaplama yöntemleri geliştirilmiştir. Ek olarak, matematiğin en önemli alanlarından biri olan eşitsizlik teorisinde kesirli türev ve integraller içeren çok sayıda sonuç elde edilmiştir. Örneğin, Hermite-Hadamard, Ostrowski, Grüss ve Ostrowski-Grüss gibi temel eşitsizlikler 0 ve 1 arasındaki türev ve integral değerlerini hesaplamak için kullanılan uyumlu kesirli hesaplamalar için kurulmuştur. Bunlara ek olarak, bazı araştırmacılar uyumlu ve lokal kesirli hesaplamalar için Pompeiu ortalama değer teoremini kanıtlamış ve bu teoremi kullanarak bazı eşitsizlikler geliştirmişlerdir. Bu tezde, Pompeiu ortalama değer teoremini taban alan Ostrowski tipli eşitsizlikler üzerine devam eden çalışmaların ışığında M-kesirli türevler için Pompeiu ortalama değer teoremi kanıtlanacaktır. Aynı zamanda, M-kesirli Pompeiu ortalama değer teoremi kullanılarak elde edilen yeni Ostrowski tipli sonuçlar bulunacaktır. Bu Ostrowski tipli sonuçların ağırlıklı versiyonları da elde edilecektir. Son olarak, bu tez kapsamında geliştirilen eşitsizliklerin bazı uygulamaları sonuç olarak verilecektir.