Markov theory and outer automorphism of PGL(2,Z)

Markov sayıları, Markov denklemi adı verilen o ̈zel bir diyofant denklemin c ̧o ̈zu ̈mlerinden ortaya c ̧ıkan pozitif tamsayılardır. Bu sayıların su ̈rekli kesirler ve dolayısıyla diyofant yaklas ̧ımı ile ilgisi vardır. Bir α reel sayısı ic ̧in Lagrange sayısı, |α−p/q|<1/lq2 es ̧itsizlig ̆inisonsuzsayıdarasyonel p/qsayıic ̧insag ̆layanreell deg ̆erlerinin supremumu olarak tanımlanır. Ayrıca tu ̈m α reel sayılarına ait Lagrange sayılarının ku ̈mesine Lagrange spektrumu denir. Dahası, Markov sayıları bazı kuadratik irrasyonellere ait Lagrange sayılarını ic ̧eren Lagrange-Markov spektrumu ile ilgilidr. Bu c ̧alıs ̧mada Lagrange sayıları 3'ten ku ̈c ̧u ̈k o ̈yle ki su ̈rekli kesir ac ̧ılımları [...,a1,a2,a3,...] , ai ∈ {1,2} formunda olan Markov kuadratik irrasyonelleri ku ̈mesi u ̈zerinde durulacaktır. O ̈te yandan, genis ̧letilmis ̧ modu ̈ler grubun dıs ̧ otomorfizminden kaynaklanan, reel sayıların Jimm adında temel bir envolu ̈syonu vardır. Bu envolu ̈syonun reel sayılara dig ̆er bir deyis ̧le su ̈rekli kesir ac ̧ılımlarına etkisi son zamanlarda kes ̧fedilmis ̧tir. Bu tezde, c ̧alıs ̧manın c ̧es ̧itli bo ̈lu ̈mleri arasında bag ̆lantılar bulmayı amac ̧layarak, Markov irrasyonellerinin yukarıda bahsedilen Jimm envolu ̈syonu altında go ̈ru ̈ntu ̈ ku ̈mesinin Markov sayılarına bag ̆lı olarak bir sınıflandırmasının veya o ̈zgu ̈n bir o ̈zellig ̆inin olup olmadıg ̆ı aras ̧tırılmıs ̧tır. Markov sayıları ikili kuadratik formlar, hiperbolik geometri ve kombinatuar gibi matematig ̆in bir c ̧ok alanında kars ̧ımıza c ̧ıkar. Bu sebeple benzer sorular farklı alanlara tas ̧ınarak muhtemel sonuc ̧lar tartıs ̧ılmıs ̧tır.