Diophantine denklemlere modüler yaklaşım

Bu tezde, aralarında asal x,y, ve z tamsayıları ve p asalı olmak üzere x^p+y^p=z^p Fermat denklemine ve bazı genelleştirmelerine modüler yaklaşımı çalışacağız. Modüler yaklaşımın Fermat denklemleriyle baş etmek için nasıl kullanabileceğini özetleyip açıkladıktan sonra, Emmanuel Halberstadt and Alain Kraus'un makalesini takip ederek ax^p+by^p=cz^p denkleminin aşikar ve aralarında asal çözümlerinin olmadığı asal sayılar kümesinin yoğun bir altkümesi olduğunu kanıtlayacağız. Burada a,b,c aralarında asal tek sayılar ve p bir asal sayıdır. Sonrasında x^4+y^2=z^p denkleminin p>211 iken aralarında asal tamsayılarda bir çözümünün olmadığını Jordan Ellenberg'in makalesi aracılığıyla gösteriyoruz. Bu denklemle başa çıkmak için gerekli asıl fikir Q-eğrilerinin modülerliğine ve böyle eğrilere eklemlenmiş Galois gösterimlerinin görüntülerine dayanır.