Monotonous cellular decomposition

Bu tez, tanımlanabilir kümelere bir kısıtlama getiren ve üzerinde çalışılan topolojinin daha kolay olmasını sağlayan o-minimallik aksiyomlarına ilişkin bazı sonuçlara ve ayrıca van den Dries ve Gabrielov tarafından tanımlanan, açık hücrelere ve tanımlanabilir fonksiyonlara monotonluk özelliği taşıyan vdD-düzenliliği ve hücrelere güçlü bir topolojik özellik getiren Gabrielov-düzenliliği olarak adlandıracağımız iki ayrı düzenlilik kavramına odaklanmaktadır. Bu çalışmada, tanımlanabilir fonksiyonların, o-minimal yapılardaki tanımlanabilir kümelerin sonlu olma özellikleri sayesinde açığa çıkan Monotonluk Teoremi ve Hücresel Ayrışma Teoremi gibi bazı önemli özelliklerini veriyoruz. Daha sonra, bu iki teoremi birleştiren ve daha güçlü bir teoreme ulaşmamızı sağlayan- Düzenli Hücresel Ayrışma Teoremi- vdD-düzenliliği ile ilgileniyoruz. Çalışmamızda literatürde kanıtı bulunmayan Düzenli Hücresel Ayrışma Teoremi'ni kanıtlıyoruz. Sonrasında, vdD-düzenli olan hücreler zorunlu olarak topolojik anlamda düzenli olmazken, topolojik olarak düzenli olan hücrelere ulaşmak amacıyla Gabrielov tarafından tanımlanan yeni bir düzenlilik kavramı üzerinde çalışıyoruz. Son olarak, Gabrielov tarafından verilen, vdD-düzenli olan ancak Gabrielov-düzenli olmayan bir örneği detaylıca inceliyoruz.