Computation of the primary decomposition of polynomial ideals using Gröbner bases

Bu tezde, polinom halkalarındaki idealleri primer bileşenlerine ayırma algoritmalarını inceliyoruz. Birim elemana sahip değişmeli Noteryen halka üzerinde tanımlı bir polinom halkasının her ideali, primer bileşenlerine ayrılabilir. Başka bir deyişle, bu tür idealler, primer ideallerin kesişimi şeklinde yazılabilir (bir veya birden fazla şekilde). Bu tür polinom halkalarında primer bileşenlerin varlığı, sözkonusu halkadaki yükselen zincir şartının sağlanmasının bir sonucudur, ancak bunun varlığının ispatı, bu çarpanların nasıl bulunacağına dair bir metot öne sürmez. Buchberger tarafından bulunan Gröbner bazları, değişmeli cebirdeki çeşitli problemlerin çözümü için kuvvetli hesap metotlarının gelişmesini sağlamıştır. Tezin ilk kısmında, bir polinom halkasında verilen bir idealin primer bileşenlerini bulmak için Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen algoritmaları inceliyoruz. Bu algoritmalarda kullanılan esas araç, ideallerdeki belirli işlemlerin hesaplanması için kullanılan Gröbner bazı teknikleri olmuştur. Sıfır boyutlu ideallerin özellikleri, Gröbner bazları cinsinden tanımlanır ve bunu temel alarak $I \cap R$ sıfır boyutlu ve primer olmak üzere, $R$ Noteryen bölgesi üzerinde tanımlı bir polinom halkasından alınan sıfır boyutlu $I$ idealinin primer bileşenlerini hesaplamak için bir algoritma geliştirilmiştir. Sonradan bu algoritma, Esas İdeal Bölgesi üzerinde tanımlı polinom halkasından verilen herhangi bir idealin primer bileşenlerini hesaplamak için kullanılan bir algoritmaya genellenmiştir. İlk kısımda, Gianni ve diğer yazarlar \cite{Gianni88} tarafından geliştirilen teorem ve algoritmaların tam bir analizini ve mütalaasını yapıyoruz. Tezin ikinci kısmında ise primer bileşenlerin hesabı problemine Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen başka bir yaklaşım sunuyoruz. Ancak, bu metot Gianni ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalarda indirgeme yapmak için kullanılan, değişkeni bir eksik olan polinom halkasına izdüşüm alma işlemini kullanmamaktadır. Burada, Eisenbud ve diğer yazarlar \cite{Eisenbud92} tarafından geliştirilen algoritmaların bir taslağını sunuyoruz. Hem Gianni hem Eisenbud ve diğer yazarlar tarafından geliştirilen algoritmalar, verilen bir idealin primer ve ortak asal bileşenlerini, böylelikle de kökünü hesaplamayı mümkün kılmaktadır. Bir polinom halkasındaki $I$ idealinin primer bileşenlerinin hesabının doğrudan bir uygulaması ise $I$ idealinin varyetesinin indirgenemez elemanlarını, $I$ idealinin minimal asal ortak bileşenlerinin varyetesi şeklinde açıkça hesaplayabilmektir.