Bir ortaöğretim matematik öğretmen adayının karmaşık sayıların kartezyen formunun anlamını geliştirmesi

Bu çalışmanın amacı bir ortaöğretim matematik öğretmeni adayının gerçek katsayılı ikinci dereceden denklemlerin köklerini çalışırken karmaşık sayıları gerçek sayılar kğmesi üzerine nasıl kurduğunu incelemektir. x, y gerçek sayılar ve i=√−1 olmak üzere matematiksel olarak x+iy şeklinde tanımlanan karmaşık sayıların kartezyen formundaki x ve y'nin anlamı sorulduğunda, geçmiş çalışmalarda hem öğrenciler hem öğretmenler x ve y'nin gerçek sayılar olduğunu belirtmişler ancak x+iy'yi tek bir çokluk olarak değil ayrı iki çokluk olarak ifade etmişlerdir. Bu nedenle kartezyen formdaki x ve y'nin cebirsel ve geometrik olarak neye karşılık geldiği, neden gerçek sayılar olması gerektiği ve x+iy'nin karmaşık sayılar kümesinin bir elemanı olmasının ne anlama geldiği soruları ortaya çıkmıştır. Bu çalışma, bir ortaöğretim matematik öğretmeni adayının bu sorulara cevaplarındaki nicel akıl yürütmesini Sfard'ın(1991) matematiksel kavramların ikili yapısı teorisini kullanarak incelemiştir. Bu bağlamda, bu çalışma ikinci dereceden denklemlerin grafiğindeki tepe noktasının x koordinatı ve denklemin kökleri arasındaki uzaklığın daralıp genişlemesi üzerinden karmaşık sayılar kümesinin elemanlarının nasıl ortaya çıktığına dair kanıtlar sunmuştur. Dolayısıyla karmaşık sayıların sadece cebirsel islemler sonucu oluşmadığını ve iyi tanımlanmış bir kümede tek bir çokluk olarak var olduğunu kavramsallaştırarak matematik eğitimine katkıda bulunmuştur. Çalışmadaki öğretim sonucunda katılımcı bu iyi tanımlanmış kümeyi gerçek katsayıları olan ikinci dereceden denklemin köklerinin oluşturduğu küme olarak tanımlamıştır. İkinci dereceden denklem köklerinin cebirsel ve geometriksel incelenerek karmaşık sayıların yeniden inşa edilmesi, en az bir karmaşık sayı kök olduğunda diğer köklerin neden eşlenik oldugu sorusunu da cevaplamıştır.