Periyodik KdV denklemi için yumuşatma kestirimleri

Bu tez çalışmamızda M. B. Erdoğan ve N. Tzirakis'in ortaklaşa yazmış oldukları ve 2012 yılında yayınlanan "Global smoothing for the periodic KdV" başlıklı makalelerini, detayları ile anlamak hedeflenmiştir. Bu makalede, periyodik KdV denklemi için yumuşatma kestirimleri elde edilmiştir. Kabaca anlatmak gerekirse, yumuşatma kestirimleri, kısmi türevli bir diferansiyel denklemin çözümlerinin, ilk şart fonksiyonundan daha yumuşak fonksiyonlar olduklarını gösterirler. Bu konu iyi konmuşluk problemleri ile de yakından bağlantılıdır. Daha önceleri dispersif kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde gözlemlenen bu yumuşatma etkisi hakkında çokça araştırmalar yapılmıştır, fakat Erdoğan ve Tzirakis'in makalelerinden önce periyodik denklemler için global yumuşatma etkisi adına pek bir ilerleme kaydedilememiştir. Bu makalede kullanilan en önemli araçlar olarak, ilk kez J. Bourgain tarafından, her denklem için denklemin dispersiyon bağıntısını yansıtacak şekilde tanımlanan, Bourgain uzaylarından, ve kısmi türev alma metodundan sözedilebilir.