Kapalı altkümelerdeki topolojiler

1914'te Felix Hausdorff bir metrik uzayının kapalı altuzayları, Hausdorff uzayı, kümesinde bir metrik tanımladı. Bu metrik ve ona mutabık topoloji, bu çalışmanın esas gayesi olacaktır. Cebirsel geometride, buna analog bir nesne, Hilbert şeması, vardır ki bunun noktaları izdüşümsel bir çeşitleme olan X'in kapalı altşemalarına denk gelir. Biz Hausdorff uzayının, Hilbert şemasınınki ile analog bir modüler yorumlamasını vereceğiz. Hilbert şeması cebirsel geometride çeşitli yapılarda kullanılır; Hausdorff uzayını kullanarak biz bu yapıları topolojide taklit edebiliriz. Örneğin, bir cebirsel grup bir izdüşümsel çeşitlemeye etkidiğinde, Hilbert bölümü adı verilen bir bölüm X //Hilb G oluşturulabilir. Biz, bir topolojik grubun bir metrik uzayına etkidiği Hausdorff bölümünün X //Haus G üzerinde düşüneceğiz. Dikkate değer ki, bu bölüm bazı cazip özelliklere sahiptir: X kompakt olduğunda X //Haus G bölümü de kompakttır ve G de kompakt olduğunda X //Haus G bölümü alışılagelen X/G bölümüyle aynıdır. Hausdorff topolojisine ilave olarak, X'in kapalı altuzayları üzerine, X'ten Sierpinski uzayına giden sürekli fonksiyonlar kümesindeki kompakt-açık topoloji kullanılarak da topoloji kurulabilir. Her ne kadar ortaya çıkan Hilbert uzayı, Hausdorff uzayından daha kötü tabiatlı olsa da, X yerel olarak kompakt olduğunda bu güzel bir modüler yorumlama meydana çıkarıyor.