Yönlendirilmiş değişmeli grup çiftleri

İlk olarak ele aldığımız problem, $(\Z,+,0,P_r)$ yapısının model kuramsal özellikleri\-ni bulmaktı. Burada $r>1$ irrasyonel bir sayı ve $P_r$, $\big\{\lfloor nr\rfloor: n\in \Z\setminus \{0\}\big\}$ kümesini temsil eden bir yüklemdir. Daha önce \cite{G-O}'de, $\Z$ ile birim çember $\mathbb{S}$'nin bir altgrubu arasındaki izomorfizma kullanılarak bu yapının bazı model kuramsal özelliklerini inceledik. Yani, bir $n$ tamsayısını $\exp (\frac{2\pi i n}{r})$'ye gönderen $h:\Z\rightarrow \Gamma_r$ grup izomorfizmasını ele aldığımızda şu izomorfizma elde edilir: \beq \nonumber h: (\Z,+,-,0,1,P_r)\rightarrow \big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big).\eeq $\Gamma_r$ birim çemberin bir alt grubu olduğundan, kendi üzerinde bir yönelimi vardır. Böylece, $h(P_r)$ bir yönelim aralığı olur. Dahası $\mathcal{O}$, birim çemberin yöneliminin $\Gamma_r$'ye kısıtlaması olmak üzere, $\big(\Gamma_r, \cdot,^{-1},1,h(1),h(P_r)\big)$ ve $\big(\Gamma_r, \cdot,\mathcal{O},h(1)\big)$ yapıları birbirleriyle tanımlana\-bilirdir. Bu nedenle, $\Z$'yi $P_r$ ile genişletmek, birim çemberin bir alt grubunu bir yönelim aralığı ile genişletmekle aynıdır. Bu yüzden \emph{yönlendirilmiş değişmeli gruplar} olarak adlandırılan bu gruplar üzerinde çalışmak daha uygun hale gelir. Öncelikle yönlendirilmiş değişmeli grupları tanıtıp sıralı değişmeli gruplarla olan ilişkisini vereceğiz. Özellikle, düzenli yoğun yönlendirilmiş değişmeli gruplara odaklanacağız ve bu grupların model kuramsal sonuçlarını vereceğiz. Sıralı değişmeli grup\-lardaki o-minimalliğe benzer bir kavram olan yönlendirilmiş değişmeli grupların $\mathcal{O}$-minimalliğini tanımlayacağız. Sonra $\mathcal{O}$-minimalliğin NIP özelliğini sağladığını gösterece\-ğiz. Son olarak, yönlendirilmiş değişmeli grup çiftleri hakkında bazı sonuçlar vereceğiz.