Yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar için simpson tipli eşitsizlikler ve uygulamaları

İntegral eşitsizlikleri hem teorik hem de uygulamalı matematikte kullanılan en önemli araçlardan biridir. Bazı problemlerde integralin tam değeri hesaplanamaz. Böyle durumlarda yaklaşım metotları geliştirmek gereklidir. Bu yüzden, bazı matematikçiler fonksiyonların çeşitli sınıfları için integral eşitsizlikleri üzerine çalışmıştır. Hermite-Hadamard, Simpson, Ostrowski, Chebyshev, Grüss ve Ostrowski-Grüss eşitsizlikleri, literetürdeki önemli eşitsizliklerden bazılarıdır. Örneğin, Simpson tipi integral eşitsizlikleri, matematiksel analizde ve sayısal entegrasyon yöntemlerindeki kesinlik ve güvenilirlik sorunlarının çözümünde kritik bir rol oynamaktadır. Thomas Simpson tarafından ortaya konulan Simpson Kuralları, nümerik integrasyonda kullanılan önemli yaklaşım metotlarındandır. Bunların ilki Simpson 1/3 formulü olarak bilinen iki çekirdekli modeldir. Aynı zamanda Simpson'ın ikinci formula ya da Newton formulü olarak bilinen Simpson 3/8 kuralı ise Thomas Simpson tarafından ortaya konulan başka bir yaklaşım metodudur. Bu yaklaşım metotları bir integralin yaklaşık değerini vermektedir. Yaklaşım metotları ve integraller arasındaki farkın sınırlarını belirlemek için kullanılan yöntemlerden biri ise integral eşitsizlikleridir. Bu doğrultuda, Simpson kurallarını taban alarak üretilen integral eşitsizliklerine Simpson tipli eşitsizlikler denir. Son zamanlarda, bir çok araştırmacı Simpson eşitsiliği ile ilgili çok sayıda sonuç bulmuşlardır. Bu kapsamda klasik Simpson eşitsizliğinin daha hassas sonuçları, eşdeğerleri ve genelleştirilmiş versiyonlarının yanı sıra fonksiyonların farklı kabulleri altında yeni Simpson tipli eşitsizlikler incelenmiştir. Bu tez kapsamında, konveks fonksiyonları taban alan Simpson tipli eşitsizlikler üzerine devam eden çalışmaların ışığında,yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar için Simpson tipli eşitsizlikler incelenecektir. İlk olarak ikili çekirdek yardımıyla yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar içeren bir integral özdeşliği kurulacaktır. Daha sonra, bu özdeşlik ve konveks fonksiyon özellikleri kullanılarak Simpson tipli integral eşitsizlikleri bulunacaktır. Ek olarak, bu eşitsizlikleri ararken ortaya çıkan sonuçlar yardımıyla nümerik integrasyonda kullanılabilecek yeni Simpson tipli yaklaşım metotları geliştirilecektir. Ayrıca, ortaya çıkan Simpson tipli sonuçlardan elde edilen yaklaşık değerler ve integrallerin gerçek değerleri arasındaki ilişkiler incelenecektir.