Studies on non-weakly regular bent functions andrelated structures

Bent fonksiyonlara ilgi hem matematiksel teori hem de pratik uygulamalardan kaynaklanıyor. Şu ana kadar, bent fonksiyonların çeşitli özelliklerini ele alan birçok yazılı kaynak oldu. Kodlama teorisi, kriptografi ve dizi inşasını da içeren çeşitli uygulamaları var. Bent fonksiyonlar dört alt sınıfa ayrılıyor; düzenli bent fonksiyonlar zayıf düzenli bent fonksiyonların, zayıf düzenli bent fonksiyonlar dual bent fonksiyonların içinde kalıyor. Bunlara ek olarak bir de zayıf düzenli bent fonksiyonlarla kesişimi olmayıp dual bent fonksiyonlar sınıfı ile kesişimi olan zayıf düzenli olmayan bent fonksiyonlar var. Bu tez çalışması, sonlu cisimler üzerindeki zayıf düzenli olmayan bent fonksiyonların çeşitli kombinatoryal özelliklerini ele alıyor. Bu tezdeki ana sonuç, Çeşmelioğlu, Meidl ve Pott tarafından ortaya atılan " Duali zayıf düzenli bent olup, kendisi zayıf düzenli olmayan bent bir fonksiyon var mıdır?" açık probleminin çözümüdür. Ayrıca bu sonucu plato fonksiyonlara da genelledik. Herhangi zayıf düzenli olmayan bir f bent fonksiyonu için F_{p^n}'nin B_+(f) ve B_-(f) parçalanmasını tanımladık. Daha sonra, GMMF sınıfındaki zayıf düzenli olmayan bir bent fonksiyona karşılık gelen parçalanma bize bir kısmi fark kümesi verirse bunun önemsiz kısmi fark kümesi olduğunu gösterdik. Ayrıca, zayıf düzenli olmayan bent fonksiyonların bilinen iki nadir örneğine karşılık gelen altkümelerin önemsiz olmayan kısmi fark kümelerine ve dolayısıyla önemsiz olmayan kuvvetli düzenli grafiklere karşılık geldiğini gösterdik. GMMF sınıfının bir alt sınıfındaki zayıf düzenli olmayan üçlü bent fonksiyonlar için tek ve çift boyutlarda sırasıyla sınıfı 5 ve 6 olan 2 adet sonsuz öteleme bağlantı şeması inşa eden bir yöntem sunduk. Ayrıca bu bağlantı şemalarının önemsiz olmayan ilk veya son üç ilişkisinin füzyonuyla sınıfı 3 ve 4 olan bağlantı şemaları elde ettik. Son olarak, belirli koşulları sağlayan zayıf düzenli olmayan bir f fonksiyonu için bilinen jenerik inşa yöntemlerinden birini kullanarak B_+(f) ve B_-(f) alt kümeleri üzerinde ağırlığı 3 olan doğrusal kodlar inşa ettik. Ayrıca, f'in GMMF sınıfının bir alt sınıfına dahil olduğu durumda bu kodların ağırlık dağılımlarını belirledik. Bunlara ek olarak, inşaatımızın hemen hemen her durumda en düşük doğrusal kodları verdiğini kanıtladık.