Bazı lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemler ve tam çözüm yöntemleri

Bu tezde, optik fiberlerde ışık darbelerinin yayılımını modelleyen ve dördüncü mertebeden doğrusal olmayan bir kısmi diferansiyel denklem ele alınmıştır. Söz konusu denklem, doğrusal olmayan terimler ve yüksek mertebeden dispersiyon etkilerini içermesi nedeniyle oldukça karmaşık bir yapıya sahiptir. Optik fiber sistemlerinde veri iletimi, soliton oluşumu ve solitonların dinamik davranışlarının anlaşılması için önemli bir matematiksel çerçeve sunmaktadır. Bu nedenle, denklemin tam çözümlerinin elde edilmesi hem teorik hem de uygulamalı bilimler açısından büyük önem taşımaktadır. Denklemin tam çözümlerinin elde edilmesi için literatürde sistematik ve etkili yöntemler olarak bilinen üç farklı yöntem kullanılmıştır: Sardar alt denklem yöntemi, Riccati-Bernoulli yöntemi ve $\left(\dfrac{G'}{kG'+G+r}\right)$-genişleme yöntemi. Bu yöntemler, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılan güçlü tekniklerdir. Çalışma kapsamında, bu yöntemler ile yeni ve özgün tam çözümler türetilmiştir. Elde edilen çözümler, yalnızca matematiksel olarak önemli sonuçlar sunmakla kalmamış, aynı zamanda optik fiberlerde soliton davranışlarının modellenmesi, plazma fiziğinde elektromanyetik dalgaların yayılımının anlaşılması ve fiber optik teknolojilerinin geliştirilmesi gibi çeşitli bilimsel alanlarda uygulama potansiyeli göstermiştir. Elde edilen analitik çözümlerin fiziksel anlamı, bazı özel çözümlere ait grafikler aracılığıyla görselleştirilmiştir. Bu grafikler, soliton davranışlarının zamana ve mekâna bağlı evrimini açıklamakta kritik bir rol oynamıştır. Çözümlerin pratik doğruluğunu ve bilimsel önemini vurgulayan bu görselleştirmeler, doğrusal olmayan fenomenlerin daha derinlemesine anlaşılmasına katkıda bulunmuştur. Sonuç olarak, bu çalışma, zorlu yapıya sahip bir denklemin tam çözümlerini sunarak, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler ve bunların çeşitli bilimsel ve mühendislik uygulamalarına yönelik literatüre önemli bir katkı sağlamaktadır.