Fraktal interpolasyon fonksiyonları

Fraktal geometrinin en önemli araçlarından birisi yinelemeli fonksiyon sistemleridir. 1981 yılında Hutchinson tarafından yayımlanan bir çalışma ile matematik dünyasında yerini alan bu sistemler birçok kümenin matematiksel olarak modellenebilmesine olanak sağlamaktadır. Fraktal olarak bilinen kümelerin büyük bir kısmı da bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olarak ifade edilmektedir. Bir Öklidyen uzayda, verilen sonlu noktayı interpole eden bir sürekli fonksiyonun bulunması problemi önemli bir problem olarak güncelliğini korumaktadır. Düzlemde verilen sonlu veri kümesini interpole eden ve grafiği bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olan sürekli fonksiyonların varlığı 1980'lerde incelenmiş ve ortaya konmuştur. Bu problem, uygulama alanı oldukça geniş olan bir problem olması münasebetiyle son derece önemlidir. Bu nedenle farklı uzaylarda, daha yüksek boyutlu uzaylarda da bu soruya yanıt aramak elbette oldukça anlamlıdır. Daha sonra yapılan çalışmalarda, özellikle uzayda verilmiş olan bir veri kümesini interpole eden bir sürekli fonksiyonun, grafiği bir yinelemeli fonksiyon sisteminin atraktörü olacak şekilde var olduğu, veri kümesine ilişkin bazı kısıtlar altında gösterilmiştir. Bu kısıtlar zamanla yapılan çalışmalarla esnetilmiş ve zamanla çok daha geniş bir veri kümesi için adına fraktal interpolasyon yüzeyleri dediğimiz kümelerin varlığı araştırılmıştır. Bu tez çalışmasının ilk iki bölümünde yinelemeli fonksiyon sistemleri ve klasik fraktal interpolasyon fonksiyonları tanıtılmış, sonrasında ise fraktal interpolasyon yüzeyleri ile ilgili çalışmalar özetlenip, özellikle de bu teorideki önemli birkaç çalışmalar tüm detayları ile açıklanıp örneklendirilmiştir. Öte yandan, elde edilen fraktal interpolasyon yüzeylerinin fraktal boyutları ile ilgili yapılan çalışmalar ve elde edilen sonuçlar da araştırılmış ve ilgili bölümlerde sunulmuştur.