İhtimal ağırlıklı momentler yöntemi noktalamapozisyonu formülleri ve maksimum olabilirlik yöntemi üzerine bir çalışma

ÖZET Maksimum olabilirlik (MO) yönteminden sonra etkin bir parametre tahmin metodu olarak 1979'da ortaya atılan ihtimal-ağırlıklı momentler (lAM) yöntemi, hidrolojide yıllık taşkın pikleri serilerine uygulanan ihtimal dağılımlarında artan bir oranda kullanılmaya başlanmıştır. Hesap yükü oldukça az iken, istatistiki olarak MO yöntemine yakın anlamlılığa sahip olduğu bilinen lAM yönteminin verdiği değerler ise ara hesaplarda kullanılan noktalama pozisyonu formülü (NPF) türüne bağlı kalmaktadır. Hidrolojik tekerrür analizlerinde uygulanan 10 kadar farklı NPF mevcuttur. Bugüne kadar ilgili literatürde, NPFnün lAM yöntemince hesaplanan ihtimal-değişken ilişkisine yaptığı etki üzerinde önemli bir çalışmaya rastlanmamıştır. Yıllık taşkın pikleri frekans analizinde genelde en çok sözü edilen 3-parametreli log-normal (LN3), log-Pearson-3 (LP3), genel ekstrem değerler (GED), ve son yıllarda kullanılmaya başlanan Wakeby dağılımlarına ÎAM yöntemi uygulamasında başvurulan NPF'nün etkisi bu çalışmada detaylı istatistiksel analizler ışığında incelenmiştir. lAM yönteminin kullanılan NPF'ne duyarlılığını incelemek amacıyla bu çalışmada, bilgisayar hesap zamanı ve hafızasını optimum miktarda kullanmak gereği de göz önünde bulundurularak, dünyada son zamanlarda daha popüler olduğu anlaşılan Landwehr, (i-0.35)/n, Cunnane, ve Weibull NPF'leri ele alınmıştır. Hesaplanan ihtimal dağılımlarından dördüne de bu dört NPF uygulanmıştır, ihtimal yoğunluk fonksiyonu için açık bir ifadesi bulunmayan Wakeby dağılımına MO yönteminin tatbik edilmesi mümkün değildir. Dolayısıyla, MO yöntemi diğer üç dağılıma uygulanabilmiştir. Böylece, toplam 19 adet farklı dağılım modeli ele alınmıştır. Klasik taşkın frekans analizinde bu 19 modelden hangisi en iyi olabilir sorusuna cevap arama işlemleri iki farklı biçimde yapılmıştır. Bunlardan ilki uygulamacı mühendisler tarafından da kolayca hesaplanabilecek olan klasik uygunluk testleri analizleridir. Bu çalışmada, dünyada en popüler olan Chi2, Kolmogorov-Smirnov, ve Cramer-von-Mises uygunluk testleri tatbik edilmiştir, öncelikle, 50 ve daha fazla elemanlı, Türkiye'den 8 dünyadan 3 olmak üzere toplam 11 adet doğal akarsuların gözlenmiş yıllık taşkın pikleri serilerine bu üç uygunluk testi tatbik edilmiştir. Bunlardan Chi2 testi alışılmışın dışında daha detaylı bir biçimde uygulanmaktadır. Gözlenmiş seriler üzerinde yapılan bu klasik uygunluk testlerinin kendi aralarında bile her zaman tam bir uyuşma olmamasına rağmen, genelde Wakeby-ÎAM-Landwehr, Wakeby-tAM-(i-0.35)/n,ve LP3-lAM-Landwehr modelleri bu analizler sonucunda en başarılı olmuşlardır. Büyük ve önemli su yapılarında riskin çok küçük tutulması gereği, savak yapılarının şiddetli taşkınlardaki davranışının belirlenmesinde 100, 1000, 10000, hatta daha fazla süreli tekerrürlü pik debilerin sağlıklı tahminini daha önemli kılmaktadır. Bu bakımdan, ilgili literatürde de bahsedildiği gibi, dağılımın gözlenmiş aralığının tamamının uygunluğu hakkında fikir veren fakat ekstrem değerleri içeren sağ kuyruk kısmında yetersiz kalan klasik uygunluk testleri sonuçlan bu çalışmada en iyi dağılımı seçme kriteri olmamıştır. Burada daha ziyade 100-, 1000-, ve 10000- yıl tekerrürlü piklerin güvenilir tahminini yapabilen modeller aranmıştır. Ekstrem değerleri sağlıklı tahmin eden modellerin belirlenebilmesi amacıyla, ilgili literatürde sıkça başvurulan ve Monte carlo tekniği olarak ta bilinen yöntem ile çok uzun sentetik seriler türetilip bunlar üzerinde ilgili istatiksel analizler yapılmıştır. Bilgisayar imkanları göz önünde bulundurularak 1 1 adet istasyonun her biri için 100000 (yüzbin) elemanlı sentetik seriler türetilmiş ve bu uzun serinin kitleyi temsil ettiği kabulü yapılmıştır. Sentetik serinin nüvesi olan 0 ile 1 arasında uniform dağılımlı rastgele sayı türetme işlemi ise literatürde kabul görmüş bir bilgisayar paket programı kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Tarihi gözlenmiş gerçek serilerden hesaplanan dağılım parametreleri kitlenin parametreleridir varsayımı yapılarak, çalışmanın genel ve anlamlı olabilmesi amacıyla, ele alınan dört adet dağılımın her birinin ayrı ayrı kitlenin esas dağılımı olduğu kabul edilmiş ve böylece her istasyon için dört farklı 100000 elemanlı sentetik seri türetilmiştir. Her bir 100000'lik sentetik seri, uzunlukları 30, 50, ve 100 olan toplam 1000 adet çakışmayan örnek serilere parçalanmıştır. Böylece toplam 1 1 istasyon için, her biri 1000 örnek seriden oluşan, 11x4x3 = 132 adet takım elde edilmiştir. Herhangi bir 1000 adet örnek seri takımında 19 farklı modelin 100-, 1000-, ve 10000-yıl tekerrürlü pikleri 1000 kere hesaplamış ve bunların baştan bilinen kitlenin 100-, 1000-, ve 10000-yıl tekerrürlü piklerinden olan bağıl sapmaları bulunmuştur. Bu 1000 adet bağıl sapmanın kendi arasındaki dağılımını pratik bir biçimde temsil eden ve literatürde kutu diyagramları olarak bilinen şekiller 19 model için ayrı ayrı çizdirilip ortalaması sıfıra en yakın ve dağılımı en dar olan modeller belirlenmeye çalışılmıştır. Kutu diyagramları analizleri olarak adlandırılan bu karşılaştırmalar bu çalışmada en iyi model seçimindeki asıl kriter olmuştur. Sözü edilen üç klasik uygunluk testleri 1000 adetlik sentetik örnek seri takımlarına datatbik edilmiş ve bunların sonuçlarının tek adet gözlenmiş serilere yapılan uygunluk testleri sonuçlarıyla uyum olduğu anlaşılmıştır. Yukarıda da söylendiği gibi, bu çalışmada ise bir modelin iyi olarak seçimindeki asıl kriter kutu diyagramları analizlerindeki başarısı olup, klasik uygunluk testlerindeki başarısı değildir. Klasik uygunluk testlerinin yapılmasındaki amaç şudur: Kutu diyagramları analizleri özel programlar gerektiren, zahmetli, ve çok bilgisayar zamanı alan analizlerdir ve normal uygulamacıların vakit ayıramıyacağı kadar külfetlidir. Klasik uygunluk testleri ise genelde yaygınlıkla hesaplanmaktadır. Dolayısıyla, bu çalışmada kutu diyagramı analizleriyle klasik uygunluk testleri sonuçlarının uyum içinde olup olmadığı da araştırılmıştır. Eğer bu uyum var olsaydı, çalışmada önemli bir sonuç olarak, klasik uygunluk testleri bulgularının ekstrem değerlerin sağlıklı tahmininde de başarılı olarak kullanılabileceği sonucuna varılacak idi. Malesef böyle bir sonuç bulunamamış, ve klasik uygunluk testleri bulguları, kutu diyagramları analizleri bulguları ile uyuşmamıştır. Böylece, bu çalışmada literatürde de bahsedilen, uygunluk testlerinin ekstrem değerlerin tahminindeki yetersizliği teyid edilmiş olmaktadır. 11 adet istasyonun çok sayıda yapılan kutu diyagramları analizleri neticesi bu çalışmada ulaşılan sonuçlar şunlardır: 1) Tek bir model aranıyorsa MO yöntemiyle hesaplanan 3-parametreli log-normal dağılımı, veya Landwehr NPF kullanılarak lAM yöntemi ile hesaplanmış log-Pearson-3 dağılımı en iyi iki dağılım olarak bulunmuştur. (i-0.35)/n NPF formülü kullanılarak İAM yöntemiyle hesaplanan GED dağılımı da bu ikisi kadar iyi denilebilir. 2) incelenen 4 farklı NPFden İAM yöntemindeki performansları açısından Landwehr en başarılı, Weibull ise en başarısız bulunmuştur. 3) Hesap yükü ÎAM yöntemininkinden çok fazla olan ve nadiren çözümü dahi olmayan MO yöntemi, GED ve LP3 dağılımları için Landwehr NPF ile hesaplanan ÎAM yönteminden üstün bulunamamıştır. MO yöntemi sadece LN3 dağılımında ÎAM-Landwehr yöntemine biraz üstün olmuştur. 4) İlgili literatürde çok methedilen beş-parametreli Wakeby dağılımının burada incelenen üç-parametreli dağılımlara belirgin bir üstünlüğü bulunamamıştır. ' Bilakis, LN3-MO ve LP3-lAM-Landwehr modelleri kutu diyagramı analizlerinde Wakebymodellerinden daha iyi performans göstermişlerdir. ÎAM yöntemi dahi çok kapsamlı olan Wakeby dağılımı bu çalışmada en iyi olarak bulunamamıştır. LN3 ve LP3 dağılımları Wakeby dağılımına tercih edilmelidir. (Uygunluk testleri ve kutu diyagramları analizlerinin tamamında kullanılan bütün data ve programlan içeren bilgisayar dosyalan tezde ilişikte sunulan diskette bulunmaktadır.)