Karmaşık ağ topolojilerinde kuramoto modelinde senkronizasyonun incelenmesi

Doğada, günlük hayatta ve birçok farklı bilim alanında sıkça karşılaşılan bir olgu olan senkronizasyon büyük önem arz etmektedir. Bilim adamları senkronizasyonun oluşumunu açıklayabilmek amacıyla birçok matematiksel yöntem geliştirmişlerdir. Bu yöntemlerden Kuramoto modeli en çok tercih edilen ve çalışmalarda sıklıkla kullanılan modeldir. Kuramoto modeli, fazları birbiriyle ilintili osilatörlerden meydana gelen çoklu bir sistem olarak tanımlanmaktadır. Böyle bir sistemde senkronizasyon, birbirleriyle bağlantılı olan osilatörler arasında oluşan bağlantı kuvvetinin büyüklüğüne göre şekillenmektedir. Bu tez çalışmasında öncelikle Kuramoto model eşitlikleri kullanılarak tanımlanan global ağ yapısındaki bir sistemin dinamikleri analiz edilmiştir. Sistem dinamiklerinden senkronizasyon durumu hakkında fikir edinebilmek için düzen parametresinin genlik değerinden ve osilatörlerin fazbilgisinden faydalanılmıştır.Bu doğrultudabağlantı kuvveti arttıkça senkronize davranışın oluştuğu ve sistemdeki her bir osilatörün fazının aynı değere kilitlendiği görülmüştür. Ancak sistemde senkronizasyonun oluşabilmesi için bağlantı kuvvetinin değerinin belirli bir değerden büyük olması gerektiği bunun yanı sıra ise belirli bir değerden de küçük olması gerektiği tespit edilmiştir. Osilatörler arasındaki bağlantı kuvvetinin kritik eşik kuvvetinden küçük olduğu sistemde ise senkronizasyonun oluşmadığı ve her bir osilatörün faz dağılımının farklı olduğu gözlenmiştir. Global ağ yapısının gerçek sistemleri tam olarak yansıtmamasının tespitiyle farklı ağ modelleri önerilmiştir. Bu bağlamda tez kapsamında Küçük dünya (Small-World) ve ölçeksiz (Scale-free) ağ modelleri ve Kuramoto eşitlikleri kullanılarak tanımlanan sistemlerde senkronizasyon incelenmiştir. Küçük dünya ağı kullanılarak tanımlanan bir sistemde senkronizasyon performansının, osilatörler arasındaki bağlantı kuvvetine (K) ve ağ parametrelerine (ağdaki osilatörlerin bağlantı kurma olasılıkları (p) ve ortalama bağlantı derecesine (k)) bağlı olduğu tespit edilmiştir. Sistemde ağ parametrelerinin herhangi birindeki artışın senkronizasyonu arttırdığı görülmüştür. Buna karşın bağlantı kuvvetinin sistem senkronizasyonun da artırıcı bir etkisinin olması için belirli bir aralıkta olması gerektiği de ortaya konulmuştur. Bu aralığın dışındaki bağlantı kuvveti değerlerinde senkronizasyonda hızlı bir azalmanın olduğu görülmüştür. Öte yandan sistemdeki osilatör sayısının artmasının senkronizasyon üzerinde belirgin bir etkisinin olmadığı, sadece bağlantı kuvvetinin alt kritik eşik değerinin belirlenmesinde etkili olduğu saptanmıştır. Son olarak bu tez çalışmasında ölçeksiz (Scale free) ağ yapısıyla ile oluşturulan bir sistemin senkronizasyonu incelenmiştir. Sistemdeki osilatör sayısının artmasıyla birlikte senkronizasyonun daha kısa bir sürede meydana geldiği görülmüştür ayrıca kritik eşik değerinin osilatör sayısı arttıkça daha belirgin olduğu tespit edilmiştir. Bunun yanı sıra küçük dünya ağ modelinden farklı olarak ölçeksiz ağ ile tanımlanan sistemde ağ parametresinin (m: yeni eklenen düğüm tarafından oluşturulan bağlantı sayısı) senkronizasyon üzerinde baskın bir etkisinin olmadığı bulunmuştur.