Kesirli mertebe tek kutuplu sistem modeli için tam sayı mertebe PID kontrolör tasarımı

Kesirli mertebeden hesaplama türev mertebesi ve integral katının tamsayı olmadığı durumlar ile ilgilenir. Kesirli mertebeden türev operatörü için tam sayı n. mertebe türevin genel formülünün belirli kısıtlar altında n katlı integral tanımına karşılık düşürülmesiyle Grünwald-Letnikov tanımı elde edilmiştir. Kesirli mertebeden integral operatörü için ise tam sayı mertebe n katlı integralin genel formülünün belirli kısıtlar altında n. mertebe türev tanımına karşılık düşürülmesiyle Riemann-Liouville tanımı yapılmıştır. Caputo tanımı ise Riemann-Liouville tanımının Laplace bölgesinde başlangıç koşulları için daha anlamlı olmasını sağlamaktadır. Bu tanımlar literatürde kesirli mertebe türev ve integral operatörlerini ifade etmek için kullanılırlar. Kesirli mertebe operatörlerin fiziksel yorumu için tam sayı mertebe operatörlerde sabit bir şekilde akan zaman kavramına karşılık kesirli mertebe operatörlerde sabit bir şekilde akmayan zaman kavramı kullanılır. Bu sabit şekilde akmayan zaman için kozmik zaman tanımı yapılır. Geometrik yorum için ise fonksiyon, zaman ve kozmik zaman eksenlerine sahip üç boyutlu eğrinin fonksiyon-zaman düzlemine iz düşümü tam sayı mertebe integral olarak, fonksiyon-kozmik zaman düzlemine iz düşümü ise kesirli mertebe integral olarak çizimlerle gösterilir. Kesirli mertebe operatörlerin gerçeklenmesi için literatürde sıklıkla Oustaloup yaklaşımı kullanılır. Bu yaklaşımda seçilen bir frekans aralığı için kesirli mertebe operatörlerin frekans cevaplarını ifade edebilen tam sayı mertebe transfer fonksiyonları kullanılır. Tam sayı mertebeden yaklaşımın mertebesi 11 olarak seçildiğinde ilgili frekans aralığındaki frekans cevabı, kesirli operatörün frekans cevabını oldukça yakın bir şekilde temsil eder. Bu nedenle, literatürde Oustaloup yaklaşımın mertebesi sıklıkla 11 olarak seçilir. Kesirli mertebe hesaplama, mühendislik alanında uygulamaları açısından oldukça yeni bir konudur. Kontrol alanındaki problemlere uygulanması ilk olarak 1961 yılında Manabe tarafından yapılmıştır. Yapılan çeşitli çalışmalar ile tam sayı mertebe sistem modelleri ve kontrolörleri, kesirli mertebe sistem modelleri ve kontrolörleri için genelleştirilmiştir. Tam sayı mertebe sistemlerin modellenmesi ve kontrolörleri için önerilmiş olan katsayıları ayarlama yöntemleri, kesirli mertebeden sistemlerin modellenmesi ve kontrolör katsayılarının ayarlanması için de kullanılmaya başlanmıştır. Genelleşen bu kontrolörlerle gelen esneklik, kontrolörlerin katsayılarının ayarlanmasında karmaşıklığı da beraberinde getirmiştir. Bu karmaşıklığı çözmek için çalışmalar devam etmektedir. Bu tezde tam sayı mertebeden en basit sistem modeli olan birinci mertebeden sistem modeline karşılık gelen kesirli mertebe tek kutuplu sistem modeli ele alınmıştır. İlk olarak bu kesirli mertebe sistemde yer alan kesirli operatör için çeşitli mertebelerden Oustaloup açılımları kullanılarak, bu açılımların kesirli mertebeden modeli temsil edişlerindeki farklılıklar irdelenmiştir. Bu incelemeden yola çıkılarak ele alınan kesirli mertebe sistem için farklı tam sayı mertebe ters kontrolör yapıları önerilmiş ve çeşitli başarım kriterleri üzerinden kontrolör mertebesinin başarım üzerindeki etkisi incelenmiştir. Yüksek tamsayı mertebeden ters kontrolör yapılarının başarım ölçütlerini açısından son derece tatmin edici olacağı açıktır. Düşük mertebe açılımlara dayalı ters kontrolör yapılarının da, kesirli mertebe sistem yapısında çok sayıda bulunduğu düşünülen kutup ve sıfırların etkilerini ortalama bir şekilde giderebildiği ve başarım ölçütlerini oldukça üst seviyelerde sağladığı görülmüştür. Böylece kesirli mertebe sistem için son derece basit yapılara sahip olan tamsayı mertebeden kontrolörler elde edilmiştir. Bu kontrolörlerin parametreleri kesirli mertebe sistem model parametreleri ve ele alınan frekans aralığı cinsinden parametrik olarak belirlenmiştir. Daha sonra önerilen düşük mertebe ters kontrolörde bulunan baskın olmadığı düşünülen kutup ve sıfır çiftlerinin ihmal edilerek endüstride sıklıkla kullanılan tam sayı mertebeden PID kontrolörü önerilmiş ve kontrolör parametreleri yine kesirli mertebe sistem model parametreleri ve ele alınan frekans aralığı cinsinden belirlenmiştir. Yapılan çeşitli karşılaştırmalar ile önerilen tam sayı mertebe kontrolör yapılarının üstünlüğü gösterilmiştir. Önerilen bu tam sayı mertebe PID kontrolör tasarımı, çift tank sıvı seviye sistemi üzerine uygulanmıştır. Bu amaçla belirli çalışma bölgesinde sistemden elde edilen verilere uygun kesirli mertebe tek kutuplu model uydurulmuştur. Ayrıca tasarıma esneklik katması açısından kontrolöre kazanç parametresi eklenmiştir. Bu tasarım parametresi, hata işaretinin karesi ile kontrol işaretinin toplamı olan başarım ölçütüne göre büyük patlama büyük çöküş arama algoritması ile aratılmış ve tatmin edici sonuçlar alınmıştır.