Laplace dönüşüm uzayında diferansiyel denklemlerin çözümleri

Laplace dönüşümü [0,├ ∞)┤'da integrallenebilir fonksiyonlara L{f}=∫_0^∞▒〖f(x) e^(-sx) dx〗 biçiminde uygulanır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlere indirger ve diferansiyel denklemlerin önemli bir sınıfında çözüme ulaşmak için kullanışlıdır. Bunun dışında Bilateral (İki-taraflı) Laplace dönüşümü (-∞,+∞) aralığında tanımlı fonksiyonlara uygulanır ve bu dönüşüm de diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılır. Klasik yöntemde, bu tür dönüşümler kullanılarak diferansiyel denklemlerin çözümü bulunurken diferansiyel denklemin Laplace (ya da Bilateral Laplace) dönüşümü alınarak çözüme ulaşılır. Biz tezde farklı bir bakış açısı kullanacağız. Diferansiyel denklemin kendisinin Laplace (Bilateral Laplace) uzayında olduğunu varsayacağız. Bunun için aradığımız y çözümünün y(s)=L{f(x)}(s) biçimde (ya da y(s)=B{f(x)}(s) biçiminde), bilinmeyen bir fonksiyonun Laplace (Bilateral Laplace) dönüşümü olduğunu varsayacağız ve çözümleri buna göre arayacağız. Bu çözümleri araştırırken diferansiyel denklemin koşulları ve özelliklerine göre Laplace dönüşümünü veya Bilateral Laplace dönüşümünü kullanacağız.