Çok amaçlı optimizasyon tabanlı kesirli mertebeden PID kontrolörün tasarımı

Türev ve integral terimleri ilk defa Leibniz ve Newton tarafından, birbirlerinden habersiz bir şekilde, 17.yüzyılda geliştirilmiştir. Türev ve integral kavramlarının genişletilmiş versiyonları olarak kabul edilen kesirli mertebeden türev ve integral kavramları ise bundan kısa bir süre sonra ortaya atılmıştır. Kesirli mertebeden türev ifadesi ilk olarak 1695 yılında Leibniz tarafından L'Hopital'e yazılan bir mektupta geçmektedir. Aslında tam sayı mertebeden türev ve integral kavramları kadar eski olan kesirli mertebeden türev ve integral kavramlarının popülerleşmesi ve uygulama alanlarının artması oldukça uzun sürmüştür. Kesirli mertebeden türev ve integral kavramları 300 yılı aşkın süredir matematik literatüründe var olmasına rağmen, bu konuyla ilgili ilk konferans 1974 yılında New Haven, Connecticut'ta yapılmıştır [10]. Ancak o dönemde kesirli mertebeden hesaplama konusu yalnızca birkaç matematikçi ve teorik fizikçinin ilgisini çekmeyi başarabilmiştir. Bununla birlikte, gün geçtikçe kesirli mertebeden hesaplamaya olan ilgi önemli ölçüde artmıştır ve bu alanda sayısız çalışmalar yapılmaya başlanmıştır [9]. Kesirli mertebeden hesaplamanın ilk uygulaması Abel tarafından 1823 yılında yapılmıştır. Abel, tautochrone probleminin integral denkleminin 1⁄2 mertebesinde bir türev operatörü formatında yazılan integral operatörü ile çözülebileceğini keşfetmiştir. Kesirli mertebeden hesaplamaya uygulanabilen matematiksel teorilerin çoğu 20.yüzyılın başlangıcından önce geliştirilmiştir. Ancak, mühendislik ve bilim alanındaki en ilginç sıçramalar son 100 yılda ortaya sürülmüştür. Caputo, Riemann-Liouville kesirli mertebeden türev tanımını yeniden düzenleyerek kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümünde başlangıç koşullarının tam sayı mertebeden kullanılmasını sağlamıştır. Özellikle 20.yüzyılda, kesirli mertebeden hesaplama alanında çok sayıda uygulama yapılmıştır ve bu alandaki büyük gelişmenin temel nedeni, özellikle kontrol mühendisliği olmak üzere, mühendislik alanlarında yapılan uygulamalardan kaynaklanmaktadır [10]. Kontrol, genellikle istenen kriterler doğrultusunda dinamik sistemleri kontrol etmekle uğraşan disiplinler arası bir mühendislik ve matematik alanıdır. Bu amaç doğrultusunda dinamik sistemlerin kontrol edilebilmesi için öncelikle sistemin matematiksel modelinin elde edilmesi gerekmektedir. Sistemin matematiksel modeli elde edilirken çoğunlukla sistemdeki bütün elemanların ideal olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayım doğrultusunda, dinamik bir sistemin matematiksel modelini türev ve integral operatörleri kullanılarak elde edilmektedir. Buradan yola çıkılarak, uygulanabilirliklerini arttırabilmek adına kesirli mertebeden hesaplama kullanılarak türev ve integral tanımları genişletilip çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. Kesirli mertebe hesaplama konusu kontrol alanındaki problemlere ilk defa 1961 yılında Manabe tarafından uygulanmıştır [21]. Bilindiği üzere PID kontrolörler maliyet/fayda oranı ve mevcut farklı ayarlama yöntemleri nedeniyle proses endüstrisinde en yaygın olarak kullanılan kontrolörlerdir. Klasik PID kontrolörlerin genelleştirilmiş hali olarak kabul edilen kesirli mertebeden PID (KMPID) kontrolörlerin kullanımı da son dönemlerde artmaya başlamıştır. Klasik PID kontrolörlerde 3 serbest parametre bulunurken KMPID kontrolörlerde 5 adet serbest parametre bulunmaktadır. Tam sayı mertebeden PID kontrolörlerde yalnızca kazanç katsayıları serbest olarak seçilebilmektedir ancak KMPID kontrolörlerde kazanç katsayılarına ek olarak türev ve integral operatörlerinin mertebeleri de serbest olarak seçilebilmektedir. Böylelikle kesirli mertebeden kontrolörler tasarım sırasında büyük bir esneklik sağlamakla birlikte parametre değişimlerine karşı da daha az hassaslık göstermektedirler. Ancak öte yandan, kesirli mertebeden sistemlerin zaman tanım bölgesindeki yanıtların elde edilebilmesi için karmaşık tasarım ve analiz metotları kullanılması gerekmektedir. Bu sebepten dolayı, literatürde önerilen tasarım yöntemlerinin büyük bir kısmı frekans tanım bölgesinde veya nümerik bir arama algoritması yardımıyla geliştirilmiştir [9]. Literatürde kesirli mertebeden türev için çeşitli tanımlar mevcuttur. Bunlar arasından en çok kullanılan tanımlar Grünwald-Letnikov ve Riemann-Liouville tanımlarıdır. Yaygın olarak kullanılan bu ikim tanım dışında, 1960'lı yıllarda İtalyan matematikçi M. Caputo tarafından önerilen Caputo kesirli mertebeden türev tanımı da bulunmaktadır [11]. Caputo tanımının Laplace dönüşümünde başlangıç koşulları için fonksiyonun tam sayı mertebeden türevi kullanıldığından ötürü kesirli mertebeden türevin hesaplanmasını kolaylaştırmaktadır. Bu nedenle Riemann-Liouville tanımı yerine Caputo tanımı da tercih edilebilmektedir. Kesirli mertebeden operatörlerin gerçeklenebilmesi için en çok kullanılan yaklaşım türü ise Oustaloup yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda belirli bir frekans aralığında kesirli mertebeden operatörlerin frekans cevapları tam sayı mertebeden transfer fonksiyonlar ile ifade edilir. Oustaloup yaklaşımının mertebesi ne kadar büyük seçilirse, kesirli mertebeden türev operatörü, tam sayı mertebe transfer fonksiyonu tarafından o kadar iyi yansıtılmış olur. Bu durumda yaklaşımın mertebesinin sonsuz olması en ideal sonuca ulaşılmasını sağlamaktadır. Bu nedenle, Oustaloup yaklaşımına bir mertebe sınırı getirilmesi gerekmektedir. Literatürde Oustaloup yaklaşımının mertebesi genellikle 11 olarak seçilir. Bunun nedeni ise mertebe 11 olarak seçildiğinde, belirli frekans aralığında elde edilen frekans cevabının kesirli mertebeden operatörün frekans cevabına oldukça yakın olduğunun tespit edilmesidir. Oustaloup yaklaşımından farklı olarak Carlson ve Matsuda yaklaşımları da kullanılarak kesirli mertebeden operatörler tam sayı mertebeden fonksiyonlar ile ifade edilebilir. Sánchez, Visioli ve Vilanova bir çalışmalarında [15] PID kontrolörler için çok amaçlı optimizasyon tabanlı bir kural öne sürmüşlerdir. Bu çalışmada referans takibi ve bozucu bastırma modlarının ISE değerleri minimize edilirken maksimum hassaslık değerine ise kısıt getirilmiştir. Bu doğrultuda çok amaçlı optimizasyon problemi oluşturulmuş ve bu fonksiyonların aynı anda minimize edilmesi sonucu bir optimal çözüm kümesi elde edilmiştir. Çok amaçlı optimizasyon problemlerinde, tek amaçlı optimizasyon problemlerinin aksine tek bir çözüm değil, bir optimal çözüm kümesi elde edilmektedir. Elde edilen çözüm kümesinde baskın ve baskın olmayan çözümler bulunmaktadır. Baskın olan çözümler Pareto cephesini oluşturmaktadırlar ve bu cephede yer alan bütün sonuçlar eşit derecede kabul edilebilir çözümlerdir. Pareto cephesi üzerinde hareket edildiği zaman bir amaç fonksiyonu iyileştirilirken, diğer bir amaç fonksiyonu kötüleştirilmektedir. Bu nedenle bu cephe üzerindeki herhangi iki noktanın kıyaslanması mümkün değildir. Pareto cephesi oluşturulduktan sonra bu çözümler arasından bir tanesinin seçilip kontrolör katsayılarının belirlenmesi gerekmektedir. Literatürde bu seçimin yapılabilmesi için birçok yöntem bulunmaktadır. Bu çalışmada Nash çözümü seçilerek kontrolör tasarımları gerçekleştirilmiş ve kıyaslamalar yapılmıştır. Nash çözümü, isminden de anlaşılacağı üzere, John Nash tarafından 1950'li yıllarda oyun teorisi alanında yapılan çalışmalara dayanmaktadır. Bu çözüme göre, iki amaç fonksiyonu için en kötü olan noktalar alınır ve bu noktalardan Nash çözüm noktası çıkartılır. Elde edilen farkların çarpımı maksimize edilerek Nash çözüm noktası bulunmuş olur. Böylelikle her iki amaç fonksiyonu da en kötü durumlarından olabildiğince uzaklaştırılmış olurlar. Bu tezde ise çok amaçlı optimizasyon tabanlı tam sayı mertebeden ve kesirli mertebeden PID kontrolörler tasarlanarak amaç fonksiyonlarını ne kadar iyi minimize ettikleri gözlemlenmiştir. Bu doğrultuda öncelikle bahsedilen çalışmada [15] oluşturulan çok amaçlı optimizasyon problemi oluşturulmuştur. Bahsedilen çalışmadan farklı olarak maksimum hassaslık değeri göz önünde bulundurulmamıştır ve ek olarak kesirli mertebeden PID kontrolörler tasarlanmıştır. İlk durum için referans takibi ve bozucu bastırma modlarının ISE değerleri minmize edilmiştir. İkinci durum için ise referans takibi ve bozucu bastırma modlarının ITSE değerleri minmize edilmiştir. Üçüncü durumda da yükselme zamanı ve yerleşme zamanının ağırlıklı toplamı ile aşım yüzdesi minimize edilmiştir. Bu çalışmada Pareto cephesi genetik algoritma kullanılarak oluşturulmuştur. Oluşturulan Pareto cepheleri kıyaslandığında kesirli mertebeden PID kontrolör kullanılarak oluşturulan cephelerin tam sayı mertebeden PID kontrolör ile oluşturulanlara kıyasla daha üstün olduğu görülmüştür. Kesirli mertebeden PID kontrolör ile oluşturulan Pareto cepheleri, amaç fonksiyonları için daha küçük değerler bulmayı başarmıştır. Tam sayı mertebeden ve kesirli mertebeden kontrolörlerin gerçekleştirilmesi için Nash noktaları seçildikten sonra amaç fonksiyonlarının değerleri ve sistem yanıtları kıyaslanmıştır. İlk iki durumda, sadece Nash noktaları kıyaslandığı zaman, kesirli mertebeden PID kontrolör ile elde edilen noktalar küçük ölü zamanlı sistemlerde tam sayı mertebeden PID kontrolör ile elde edilen noktalara kıyasla daha iyi sonuç vermiştir. Ölü zaman miktarı arttıkça kesirli mertebeden PID kontrolör ile bulunan noktalar ile tam sayı mertebeden PID kontrolör ile bulunan noktalar kıyaslandığı herhangi birinin üstünlük göstermediği görülmüştür. Bu durumda iki kontrolörün de cevapları eşit derecede kabul edilebilir sayılmaktadır. Sistem yanıtları incelendiğinde ise kesirli mertebeden PID kontrolörün yükselme zamanını azaltarak sistemi hızlandırdığı görülmüştür. Üçüncü durumda ise, Nash noktaları kıyaslandığında kesirli mertebeden PID kontrolör ile elde edilen noktanın yerleşme zamanını oldukça fazla düşürürken aşım yüzdesini az miktarda arttırdığı görülmüştür. Kesirli mertebeden PID kontrolör ile elde edilen nokta ile tam sayı mertebeden kontrolör ile elde edilen noktanın yükselme zamanları kıyaslandığında ise her durumda neredeyse aynı sonuç elde edilmiştir. Genel olarak tüm sonuçlar incelendiğinde ise kesirli mertebeden PID kontrolörün her durumda ya tam sayı mertebeden PID kontrolöre denk ya da daha iyi olduğu gözlemlenmiştir. Buna göre ele alınan tüm durumlarda kesirli mertebeden PID kontrolörün tercih edilmesi daha uygun görülmüştür.