Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi ile katılaşma ve elastodinamik problemlerinin nümerik çözümü

Günümüzde klasik sonlu elemanlar yöntemi bir çok mühendislik probleminin nümerik olarak çözümünde kullanılan oldukça güçlü bir yöntemdir. Polinomların yaklaşım fonksiyonu olarak kullanılması sonlu elemanlar yönteminin temelini oluşturmaktadır ve bu sebeple problemlerin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümünden elde edilen sonuçlar polinomlar gibi yumuşak bir karakteristiğe sahiptir. Katılaşma problemleri ve elastodinamik problemleri gibi hareketli keskin cepheler ve süreksizlikler içeren dinamik problemler gözönüne alındığında sonlu elemanlar yönteminin yumuşak yapısından dolayı kabul edilebilir hassas sonuçların elde edilebilmesi için çözüm bölgesinde çok ince sonlu elemalar ağının kullanılması gerekmektedir. Bu durum eleman sayısını artırarak çözüm sürelerinin uzamasına ve hesaplama maliyetlerinin artmasına sebep olmaktadır. Keskin cepheler ve süreksizlikler içeren dinamik problemlerin çözümünde klasik sonlu elemanlar yönteminin kullanılmasının dez avantajı çözüm maliyetlerinin yüksek olmasıdır. Bu tez çalışmasında klasik sonlu elemanlar yönteminin çözüm maliyetlerini düşürerek hassas sonuçlar elde edebilmek için adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi geliştirilerek katılaşma ve elastodinamik problemlerine uygulanmıştır. Katılaşma problemleri ele alındığında sonlu elemanlar yöntemi ile hassas sonuçların elde edilebilmesi için iki hususa dikkat edilmesi gerekmektedir. Bunlardan birincisi katılaşma cephesinin konumunun doğru bir şekilde tesbit edilmesi diğer husus ise katılaşma cephesinden etkilenen peltemsi bölgenin konumunun düzgün bir şekilde belirlenmesidir. Literatürde bulunan daha önceki çalışmalar incelendiğinde kayar sonlu elemanlar yöntemi, genelleştirilmiş sonlu elemanlar yöntemi, uzatılmış sonlu elemanlar yöntemi ve ağsız yöntemlerin daha çok süreksizliğin olduğu katı sıvı bölge arasında bulunan katılaşma cephesinin bulunduğu ara yüze yoğunlaştığı ve bu ara yüze düğüm noktaları yerleştirerek çözümün gerçekleştirildiği görülmektedir. Bu sebeple bu yöntemler ile süreksizliğin bulunduğu katılaşma cephesinde oldukça hassas sonuçlar elde edilebilmektedir. Ancak bu yöntemlerin tamamı katılaşma problemlerinin çözüm hassasiyetini etkileyen peltemsi bölgeyi gözardı etmektedir. Katılaşma problemlerinin çözümünde kullanılan diğer bir yöntem ise adaptif hata kestirimine dayalı yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturma yöntemidir. Diğer yöntemlerden farklı olarak bu yöntem hem süreksizliğin olduğu katılaşma cephesini hem de peltems bölgeyi başarılı bir şekilde yakalayabilmektedir. Bu yöntemin dezavantajı ise bütün çözüm bölgesinde yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturulduğu için yine yüksek çözüm maliyetidir. Çözüm bölgesinin boyutları büyüdüğü zaman çözüm süreli şiddetli bir şekilde artmaktadır. Bu yöntemin diğer bir dezavantajı ise sonlu elemanlar ağının uyumudur. Bu yöntem uygulanırken eski sonlu elemanlar ağı ile elde edilen sonuçların yeni sonlu elemanlar ağına aktarılması gerekmektedir ve bunun için yine çözüm sürelerini uzatan özel algoritmalar kullanılmaktadır. Eğer çözüm bölgesinin küçük bir kısmına bölgesel olarak yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturulacaksa yeni sonlu elemanlar ağını eski sonlu elemanlar ağına bölgesel olarak bağlamak da oldukça zordur. Bu çalışmada geliştirilen adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yönteminde, oluşturulan alt yapı orjinal global sonlu elemanlar ağından ayrı olarak oluşturulduğu için böyle bir durum oluşmamaktadır ve alt yapı bölgesinde bulunan sonlu elemanlar ağının yoğunluğu serbest bir şekilde artırılabilmektedir. Benzer şekilde elastodinamik problemleri ele alındığında ise sonlu elemanlar yöntemi ile hassas sonuçların elde edilebilmesi için üç hususa dikkat etmek gerekmektedir. Bunlardan birincisi dalga cephesinin konumunun doğru bir şekilde belirlenmesi, ikincisi dalga boyunu içeren elemanların doğru bir şekilde belirlenmesi ve son husus ise dağılım ve ayrılma hatalarının azaltılmasıdır. Dağılım hatalarının kaynağını büyük zaman adımları oluştururken ayrılma hatalarına büyük eleman boyutları neden olmaktadır. Elastodinamik problemlerinin çözümünde klasik sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak çok küçük zaman adımları ve çok küçük eleman boyutları ile hassas çözümler elde edilebilir ancak bu durum CPU zamanlarının ve çözüm maliyetlerinin şiddetli bir şekilde yükselmesine sebep olacaktır. Literatürde çözüm zamanlarını azaltarak kabul edilebilir seviyelerde sonuçların elde edilebileceği yöntemler bulunmaktadır. Bu yöntemlerden genelleştirilmiş sonlu elemanlar yöntemi / uzatılmış sonlu elemanlar yöntemi / zenginleştirilmiş sonlu elemanlar yöntemi ve ağsız yöntemler oldukça güçlü yöntemlerdir ve bu yöntemler ile süreksizlik arayüzünde oldukça hassas sonuçlar elde edilebilmektedir. Belirtilen yöntemler çözüm esnasında dalga cephesinin bulunduğu süreksizlik arayüzüne sanal veya gerçek düğüm noktaları ekleyerek bu bölgede hassas çözümlerin elde edilmesine imkan tanımaktadır fakat dalga boyunu içeren elemanları gözardı etmektedir. Bu sebeple bu bölgedeki ayrılma hataları hesaplamalara katılmamaktadır. Spektral sonlu elemanlar yöntemi ve dalgacık sonlu elemanlar yöntemi incelendiğinde ise bu yöntemlerin çözüm bölgesinde hassas sonuçların elde edilebilmesi için yaklaşım fonksiyonu olarak polinom olmayan bazı özel fonksiyonları kullandığı görülmektedir ancak bu fonksiyonların kullanımı yine hesaplama ve çözüm maliyetlerinin artmasına neden olmaktadır. Diğer bir yöntem olan uzay-zaman sonlu elemanlar yönteminde uzayda sürekli, zamanda ise süreksiz olan şekil fonksiyonları kullanılarak uzay ve zaman eş zamanlı olarak bölünmektedir. Bu yöntem ile gerilme dalgası cephesinde oldukça hassas ve dengeli çözümler elde edilebilmektedir. Fakat bu yöntemde karmaşık formülasyonların kullanılmasından dolayı ve oluşturulan lineer sistemlerin boyutlarının büyük olmasından dolayı çözüm süreleri oldukça yüksektir. Bu durum büyük çözüm bölgelerinde çözüm süresi açısından dezavantaj yaratmaktadır. Katılaşma problemleri ile ilgili olan bir önceki paragrafta bahsedilen hata kestirimine dayalı adaptif yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturma yöntemi elastodinamik problemlerine de uygulanmaktadır. Benzer bir yöntem olan adaptif ölçeklendirilmiş sınır sonlu elemanlar yöntemi de bu problemlerin çözümünde kulanılan diğer bir yöntemdir. Her iki yöntem de katılaşma problemlerinin anlatıldığı bir önceki paragrafta belirtilen adaptif yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturma yönteminin avantaj ve dezavantajlara sahiptir. Adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yöntemi, global modelden bağımsız olarak iyileştirilmiş sonlu elemanlar ağına sahip alt bölgeler oluşturarak global modelin sonlu elemanlar ağını global matrisleri değiştirmeden iyileştirmektedir. Bu yöntem dalga cephesini ve dalga boyunu içeren bölgeleri yakalayarak bu bölgelerde iyileştirilmiş sonlu elemanlar ağının oluşturulmasına imkan tanımakta ve bu bölgelerde hassas sonuçların elde edilmesini sağlamaktadır. Adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yönteminin bu özellikleri her ne kadar bu tezde geliştirilen adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemine benzese de iki yöntem arasında kesin farklar bulunmaktadır. Adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yöntemi lokal olarak iyileştirilmiş sonlu elemanlar ağı sonuçları ile global kaba sonlu elemanlar ağı sonuçlarını süperpoze ederek problemlerin çözümünü elde etmektedir. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi ise lokal olarak iyileştirilmiş sonlu elemanlar ağı sonuçlarını global modelden bağımsız bir alt yapı modeli ile elde etmekte ve bu sonuçları global model kaba sonlu elemanlar ağı ile elde edilen sonuçlar ile birleştirmektedir. Adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yönteminde lokal sonlu elemanlar ağı düğüm noktası ile global sonlu elemanlar ağı düğüm noktası çakıştığında, toplam yer değiştirmedeki uyumluluğu sağlamak için ilgili düğüm noktasının lokal sonlu elemanlar ağındaki değeri sıfır olarak alınmaktadır. Bu sebeple çakışan düğüm noktalarındaki hatalar adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yöntemi ile düzeltilememektedir. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi ise yüksek hata içeren elemanlara komşu olan düşük hata içeren elemanların düğüm noktalarını sınır şartı olarak kullanmaktadır. Bu sebeple yüksek hata içeren elemanların tüm düğüm noktalarındaki çözümler iyileştirilmektedir. Bu sebeple bu tez çalışmasında geliştirilen adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi ile daha hassas ve doğru çözümler elde edilebilmektedir. Adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yöntemi, birleştirme matrislerini oluşturmak için lokal koordinatları ve global koordinatlardan lokal koordinatlara geçmek için ters eşleştirme ve Newton-Raphson iterasyonlarını kullanmaktadır. Koordinat transferleri için kullanılan bu lineer olmayan transferler çözüm sürelerinin artmasına sebep olmaktadır. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi ise alt yapı modeli ile elde edilen lokal çözümleri direkt olarak global model çözümleri ile birleştirmektedir. Bu nedenle ters eşleştirme ve Newton-Raphson iterasyonları kullanılmamaktadır. Bu özelliğinden dolayı adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi adaptif sonlu elemanlar ağı süperpozisyonu yöntemine göre daha hızlı çalışmaktadır. Yukarıda anlatılan yöntemlerin eksikliklerinden dolayı, bu tezde yeni bir teknik olan adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntem ile dinamik problemlerin çözüm adımlarında orjinal sonlu elemanlar ağı değişmemekte ve kaba sonlu elemanlar ağı ile oldukça hassas sonuçlar elde edilebilmektedir. Dinamik problerin çözümü esnasında hesaplama bölgesinde kaba bir sonlu elemanlar ağı oluşturulmakta daha sonra hata seviyesi belli bir eşik değerin üzerinde olan katılaşma cephesini, dalga cephesini, peltemsi bölgeyi ve dalga boyunu içeren elemanlar her bir çözüm adımında hata enerji norm kestirimi ile belirlenmektedir. Daha sonra belirlenen bu elemanlar kullanılarak global modelden bağımsız bir alt yapı modeli oluşturulmakta ve bu modelin sonlu elemanlar ağı elemanlar bölünerek inceltilmektedir. Böylece her bir çözüm adımında orjinal global model için ince elemanlar ile yeniden sonlu elemanlar modeli oluşturulmadığı için çözüm zamanları önemli ölçüde azalmaktadır. Alt yapı modelinin sınır şartları ise global modelin alt yapıya komşu olan elemanlarının düğüm noktalarından elde edilmektedir ki bu düğüm noktalarında hesaplanan değerlerin hata oranı belirlenen eşik değerinin altındadır. Daha sonra orijinal global modelin sonlu elemanlar denklemleri ile alt yapı modelinin sonlu elemanlar denklemleri birleştirilmekte ve birleştirilmiş sonlu elemanlar denklemleri eş zamanlı olarak çözülmektedir. Bu şekilde her bir çözüm adımında adaptif hata kestirimine dayalı olarak alt yapı modelleri oluşturulmakta ve eğer çözüm adımları esnasında alt yapı modelini oluşturan elemanların hata seviyeleri belirlenen eşik değerinin altına düşerse bu elemanlar alt yapı modelinden çıkarılmaktadır. Bu tez çalışmasının katışama bölümünde geliştirilen yöntem kurşun alaşımının katılaşma problemine uygulanmıştır. Öncelikle çözüm için geliştirilen Matlab kodunun güvenilirliğini belirlemek için karşılaştırma çalışmaları yapılmıştır. Karşılaştırma çalışmaları esnasında basit bir zamana bağlı ısı transferi problemi hem geliştirilen Matlab kodu hem de Abaqus ticari sonlu elemanlar yazılımı ile çözülmüştür. Daha sonra elde edilen sonuçlar birbiri ile karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma çalışmalarından oldukça yakın sonuçlar elde edildikten sonra geliştirilen dinamik alt yapılandırma yöntemi kodu katılaşma problemlerine uygulanmıştır. Çalışma esnasında her bir adımda elemanların hata enerji normlarını değerlendirmek için kullanılan ısı akıları süper yakınsak yama iyileştirmesi tekniği ile elde edilmiştir. Katılaşma cephesi, peltemsi bölge ve belirlenen eşik değerinin üzerinde hata içeren elemanlar hata kestirimi ile belirlenmiştir. Daha sonra belirlenen elemanlar kullanılarak alt yapı modeli oluşturulmuş ve bu alt yapının sonlu elemalar ağı ince bir şekilde global modelden bağımsız olarak oluşturulmuştur. Son olarak global model sonlu elemanlar denklemleri ile alt yapı sonlu elemanlar modelleri birleştirilerek eş zamanlı olarak çözümler gerçekleştirilmiştir. Aynı problem ince sonlu elemanlar ağı ile modellenerek ve klasik sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yeniden çözülmüş ve elde edilen sonuçlar dinamik alt yapılandırma yöntemi ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda kaba sonlu elemanlar ağ denklemlerinin kulalnılmasının hesaplama maliyetlerini düşürdüğü görülmüştür. Bölüm sonunda sayısal sonuçlar sunulmuş ve önerilen yaklaşımın adaptif hata kestirimi algoritmasının yardımı ile diğer yöntemlere göre üstünlükleri gösterilmiştir. Önerilen yöntem nümerik çözüm sürelerini kısaltırken çözümlerin hassasiyetini artırmakta ve hassas bir şekilde katılaşma cephesini ve peltemsi bölgeyi yakalamaktadır. Çaışmanın elastodinamik bölümünde ise geliştirilen yöntem elastodinamik problemine uygulanmıştır. Öncelikle çözüm için geliştirilen Matlab kodunun güvenilirliğini belirlemek için karşılaştırma çalışmaları yapılmıştır. Karşılaştırma çalışmaları esnasında basit bir problem hem geliştirilen Matlab kodu hem de Abaqus ticari sonlu elemanlar yazılımı ile çözülmüştür. Daha sonra elde edilen sonuçlar birbiri ile karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma çalışmalarından oldukça yakın sonuçlar elde edildikten sonra geliştirilen dinamik alt yapılandırma yöntemi kodu elastodinamik problemlerine uygulanmıştır. Çalışma esnasında her bir adımda elemanların hata enerji normlarını değerlendirmek için kullanılan gerilme değerleri süper yakınsak yama iyileştirmesi tekniği ile elde edilmiştir. Gerilme dalga cephesi, gerilme dalga boyu bölgesi ve belirlenen eşik değerinin üzerinde hata içeren elemanlar hata kestirimi ile belirlenmiştir. Daha sonra belirlenen elemanlar kullanılarak alt yapı modeli oluşturulmuş ve bu alt yapının sonlu elemalar ağı ince bir şekilde global modelden bağımsız olarak oluşturulmuştur. Son olarak global model sonlu elemanlar denklemleri ile alt yapı sonlu elemanlar modelleri birleştirilerek eş zamanlı olarak çözümler gerçekleştirilmiştir. Aynı problem ince sonlu elemanlar ağı ile modellenerek ve klasik sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yeniden çözülmüş ve elde edilen sonuçlar dinamik alt yapılandırma yöntemi ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda kaba sonlu elemanlar ağ denklemlerinin kulalnılmasının hesaplama maliyetlerini düşürdüğü görülmüştür. Bölüm sonunda sayısal sonuçlar sunulmuş ve önerilen yaklaşımın adaptif hata kestirimi algoritmasının yardımı ile diğer yöntemlere göre üstünlükleri gösterilmiştir. Önerilen yöntem nümerik çözüm sürelerini kısaltırken çözümlerin hassasiyetini artırmakta ve hassas bir şekilde gerilme dalga cephesini ve gerilme dalga boyu bölgesini yakalamaktadır. Elde edilen nümerik sonuçların sonucunda dinamik alt yapılandırma tekniğinin literatürde bulunan diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında oldukça avantajlı olduğu belirlenmiştir. Literatürde bulunan diğer yöntemlerin eksiklikleri aşağıdaki paragrafta verilmiştir. Literatürde alternatif yöntemlerle ilgili olarak net bir CPU zamanı karşılaştırması bulunmamaktadır. Fakat, ilgili alternatif yöntemler incelendiğinde bu yöntemlerin birçoğunda çözüm hassasiyetinin artırılması amacıyla global çözüm bölgesinin düğüm noktası sayılarının ve eleman sayılarının çözüm esnasında artırıldığı görülmektedir ve bu durum her bir çözüm adımında global matrislerin güncelleştirilmesini gerekli kılmaktadır. Her bir çözüm adımında global matrislerin yeniden oluşturulması özellikle büyük çözüm bölgelerinde çözüm sürelerinin şiddetli bir şekilde yükselmesine sebep olacaktır. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yönteminin avntajı bu noktada ortaya çıkmaktadır. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi kullanıldığında orjinal global model etkilenmemekte ve global matrislerin her bir adımda yeniden oluşturulması gerekmemektedir. Bunun yerine her bir çözüm adımında global modelin küçük bir kısmını oluşturan alt yapı modeli global modelden baağımsız olarak oluşturulmaktadır. Bu sebeple alt yapı modeli matrislerinin oluşturulması alternatif yöntemlere göre çok daha hızlı ve zaman kazandırıcıdır. Ayrıca çözüm esnasında adımlar arasında alt yapının oluşturulduğu bölgelerin değişmemesi durumunda bir önceki adımda hazırlanan alt yapı modeli aynen kullanılabilir ve bu durum çözüm sürelerinin daha da kısalmasını sağlayacaktır. Yeniden sonlu elemanlar ağı oluşturulmasını ve dolayısıyla global matrislerin güncellenmesini gerektirmeyen diğer yöntemler ise yüksek mertebeli elemanlar ve karmaşık çözüm yöntemleri kullanmaktadır. Çözüm yöntemlerinin karmaşık oluşu ve yüksek mertebeli elemanların kullanılması çözüm sürelerinin artmasına sebep olmaktadır. Adaptif hata kestirimine dayalı dinamik alt yapılandırma yöntemi oldukça basit ve kullanışlı olan klasik sonlu elemanlar formülasyonlarını kullanmaktadır. Bu sebeple, bu elemanlar kullanılarak gerçekleştirilen hesaplamaların maliyetleri literatürdeki diğer yöntemlere göre daha düşüktür.