Polinoma indirgenme durumlarına sahip olan heun denklemlerinin fiziksel uygulamaları

Bilim camiası 20. yüzyılın sonlarında Heun tipi çözümlerle daha sık karşılaşmaya başladı. Böylece, sınır durumlarında hipergeometrik tipe dönüştürülerek incelenen problemler, Heun denklemleri sayesinde tam olarak çözülebiliyor duruma gelmiştir. Bilim insanlarının Heun tipi denklemlerle bahsi geçen yıllarda daha fazla ilgilenmesine iki ana neden verilebilir. Birincisi, sınır durumları için değil, ana problem için çözüm arayışına girmenin birçok alan için zorunlu hale gelmesi, ikincisi de Maple programının Heun tipi denklemleri algılayabilir ve bunlarla çalışabilir hale gelmesidir. Halihazırda sayısal ve sembolik olarak Heun tipi denklemlerle çalışmak Maple ve GNU Octave ile mümkün olabilmektedir. Mathematica programı da güncel sürümünde ilk kez Heun tipi denklemlere destek vermiştir fakat bu paket son kullanıcı tarafından henüz yeterince denenmemiştir. İki terimli tekrarlama ilişkisi ve üç düzgün tekilliği olan hipergeometrik denklemin matematiksel teorisi tam olarak anlaşılmıştır. Bununla birlikte, dört düzgün tekillik ve üç terimli tekrarlama ilişkisi olan Fuchs tipindeki genel Heun denkleminin teorisi henüz tamamlanmamıştır. Dört düzgün tekilliğe sahip olan genel Heun denkleminde sonsuzdaki tekilliğin düzgünlüğü Fuchs şartı adı verilen ve Heun denkleminin parametrelerini birbirine bağlayan bir şartla mümkün olur. Genel Heun denklemindeki tekilliklerin çeşitli şekillerle birleşmelerinden konfluent tip Heun denklemleri ortaya çıkarlar. Sıfırdan ve birden farklı olan serbest tekil noktanın sonsuzla birleşmesinden konfluent Heun denklemi ortaya çıkar. Bu durumda sonsuzdaki tekillik rank 1 düzgün olmayan tekilliğe dönüşür. Çift konfluent Heun denkleminde düzgün tekil nokta yoktur. Sıfır ve bir noktalarında iki adet rank 1 düzgün olmayan tekillik bulunur. İkili konfluent Heun tipi denklemde sıfır noktasında bir adet düzgün tekillik, sonsuzda ise rank 2 düzgün olmayan tekillik vardır. Üçlü konfluent Heun denklemi sadece sonsuzda rank 3 düzgün olmayan tekilliğe sahiptir. Heun denklemlerinin fiziksel uygulamaları çeşitlidir. Heun fonksiyonlarının genel ve konfluent formları cinsinden çeşitli kuantum mekanik problemleri çözülebilir. Genel görelilik uygulamaları da, Einstein denklemlerinin çeşitli kesin çözümlerini anlamada önemli bir rol oynar. Kara delikler veya diğer kesin çözümler için yazılmış olan Klein-Gordon ve Dirac denklemleri çözümlerinden çoğunlukla Heun denklemlerini barındırır. Gözlemsel ve kuramsal astrofiziğin en önemli konularından birini de oluşturan Kerr tipi dönen ve yüksüz kara delikler için yazılan Teukolsky denklemi Heun denklemlerinin önemli bir uygulamasıdır. Boyut sayısından bağımsız olarak, bir kara delik metriği ile tarif edilen tüm uzayzaman için dalga denklemleri yazıldığında, bulunan kısmi türevli diferansiyel denklem ayrıştırılır. Sistemin simetrileri genelde azimut ve zaman özdeğerlerinin denklem çözülmeksizin bulunmasına izin verir. Killing vektörleri ve Killing tansörleriyle belirlenen bu simetriler, sistemin geometrisiyle ilgilidir. Kısmi türevli diferansiyel denklemin ayrışmasını da sağlayan Killing tansörü, genel olarak denklemin açısal kısmı ile bağlantılıdır. Ayrışma sağlanıp açısal kısım yazıldığında bazı durumlarda Heun tipi denklemler elde edilse de, sistemin geometrisine göre daha basit tekillik yapısındaki denklemler de bulunabilir. Radyal denklemin Heun tipi bir denklem olması işlem yapmayı zorlaştırsa da tam çözüm için bu denklemin çözümlerinin irdelenmesi kaçınılmazdır. AdS-CFT karşılık gelmesi ve bunun Kerr kara deliği için olan özel hali Kerr-CFT karşılık gelmesi, dalga denkleminin kara deliğin olay ufku etrafında çalışılması ve bu limitte hipergeometrik tipte bir denkleme indirgenmesiyle çalışılır. Hipergeometrik fonksiyonlar SL(2,R) grubunun gösterimlerinde karşımıza çıkarlar. Bu grup da konformal simetriyle ilişkilidir. Bu sayede kütleçekim kuramıyla bulunan değerler, bir alt boyuttaki konformal alan kuramı hesaplarıyla bulunan değerlerle örtüşür. Bu, ilgili sistemlerde olduğu öngörülen holografinin bir özelliğidir. Heun fonksiyonları, çözümleri sınırda hipergeometrik tipe dönüşen problemin tamamını açıklayan fonksiyonlardır. Henüz bulunmuş olmasa da, Heun fonksiyonlarının da benzer bir grup simetrisine karşılık gelmesi ve radyal denklemin hipergeometrik durumda olduğu gibi grubun bir Casimir operatörüyle ilişkilendirilmesi kuramdaki en büyük eksiklerden biridir. Teorisi tamamlanmamış olan bu fonksiyonların hipergeometriğe ve daha basit hale geçtiği durumları incelemek, asıl problemin çözümü için atılacak önemli adımları oluşturacaktır. Genel Heun denklemi, parameterelerinde belirli koşulların sağlandığı özel hallerde hipergeometrik denkleme indirgenebilir. Bu matematiksel koşullar fiziksel problemlere uygulandığında fiziksel sisteme kısıtlar getirir. Bu kısıtların kuantum mekaniksel problemlerde enerji özdurumu bağıntılarını verdikleri gözlenmiştir. Heun tipi denklemlerin çözümleri, eğer parametreler belirli bazı koşulları karşılarsa polinom çözümlerine dönüşebilir. Üç teoremle özetlenebilen koşullar, bir fonksiyonun, bir cebrik denklemin ve bir determinantın belirli şartları sağlamasını gerektirir. Polinom derecesine ve Heun denklemi parametrelerine bağlı olan cebrik denklem, kuantum mekaniği problemlerinde enerji özdurumlarını veren bağıntıyı doğurur. Burada, polinom derecesi enerji durumuyla ilişkilidir. Matematiksel koşullar, Heun'dan hipergeometriğe geçiş durumlarında olduğu gibi, fiziksel problemlere uygulandıklarında fiziksel sistem için kısıt anlamı taşırlar. Kuantum mekaniği problemlerinde enerji özdurumları, bulunan çözüme sınır şartlarının uygulanmasıyla elde edilir. Heun fonksiyonlarında değişik tekil noktalar etrafında yapılan seri çözümlerinin bağlantı problemi henüz çözülmemiş olduğundan sınır şartlarının uygulanması neredeyse imkansızdır. Polinom çözümleri tüm bölgede geçerli olduklarından sınır şartından gelen enerji özdurumları, polinoma geçiş durumunu veren kısıt denklemiyle verilir. Genel görelilik problemlerine bu metotla yaklaşmak için daha dikkatli olunmalıdır. Uzayzamanın radyal sınırı olmadığında polinom çözümleri yarıçapla birlikte artarlar ve bu fiziksel olmayan sonuçlar doğmasına sebep olabilir. Kuantum mekaniğinden üç problem ve bir kara delik fiziği problemi polinoma indirgenme yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Kuantum mekaniği problemleri için enerji spektrumu çalışılmıştır. Kara delik sistemi için bazı parametre kısıtlamaları bulunmuştur. Manyetik olarak yüklenmiş kara delik probleminde fiziksel kısıtlar bulunabilse de, bunların fiziksel bir yapı veremeyeceği açısal çözüme koyulan kısıtın sanal olarak gelmesiyle anlaşılmıştır. Kuantum mekaniğindeki çift kuyu potansiyelinde enerji durumları ise taban durumu ve birinci uyarılmış durum için başarıyla bulunabilir. Dört boyutlu küre üzerinde çalışılan Coulomb problemi için bulunmuş olan enerji bağıntısı, polinoma geçiş durumları kullanılarak aynı şekliyle üretilebilir. Literatürde sayısal olarak çalışılmış olan üç etkileşime sahip kuantum parçacığı problemi için de taban durumu enerjisi analitik olarak türetilebilmiştir. Enerji spektrumunu veren teoremi incelemek için Maple ve SageMath kodları yazılmıştır. Maple Heun denkleminin çözümleri için de kullanılabiliyor olsa da SageMath kodu sadece enerji özdurumlarını da veren bağıntıyı hesaplamak amacıyla yazılmıştır.