The Euler measure of finite categories

Obje ve morfizm kümeleri sonlu olan her A kategorisini, χ(A) rasyonel sayısı ile ilişkilendiriyoruz. χ ilişkilendirmesi ayrık bileşim altında toplamsaldır ve çarpımı korur. Leinster'ın Euler karakteristiği χLein tanımlı olduğunda, χ ile χLein aynıdır. Böylece χ seri Euler karekteristiği χΣ'dan farklıdır ve χLein'in tanımlı olduğu kategoriler ailesine kısıtlandığında, kanonik model yapısının zayıf denklikleri altında korunur. Fakat, tanımlı olduğu tüm aile üzerinde, χ, kanonik model yapısının zayıf denklikleri altında korunmaz. Bu sebeple χ'ye Euler karakteristiği demeyiz. χ, ağırlıklandırma kabul eden kategoriler ailesine kısıtlandığında, içerme dışlama ilkesine uyar. Böylece bu kısıtlanamaya Euler ölçüsü deriz. Karışıklığa sebep olmaması için bu kısıtlamaya da χ deriz. Hem ağırlıklandırma hem de karşıt-ağırlıklandırma kabul eden kategoriler ailesi, ağırlıklandırma kabul eden kategoriler ailesi tarafından kapsandığından, kategorilerin Euler ölçüsü, Leinster'ın Euler karakteristiğinin bir öz genişlemesidir. Ayrıca Leinster'ın Grothendieck inşası için formülünün, indeks kategorisi bir posetken ve görüntüleri Euler ölçüsünün tanımlı olduğu ailedeyken de geçerli olduğunu gösterdik. Durum Thomason model yapısında daha karmaşıktır. Ne χ'ın, ne χLein'ın, ne de χΣ'nın Thomason model yapısının zayıf denklikler altında korunmadığını göstermek için bir örnek sunuyoruz ve bu tip örneklerin, Thomason model yapısının zayıf denklikleri üzerine bazı ek şartlar koyarak, elenebileceğini gösteriyoruz.