Zaman skalasında ikinci dereceden dinamik kapsamaların salınımı

Sürekli ve ayrık analizi birleştirmek için 1990 yılında Hilger tarafından bulunan Zaman Skalası teorisi son zamanlarda pek çok ilgi görmüştür. Salınım problemleri son zamanlarda fark denklemleri ve diferansiyel denklemler alanlarında çok ilgi çekici hale gelmiştir. Bu alanlar, çeşitli yazarlar tarafından daha güçlü ve genelleştirilmiş teoremler ile derinleştirilmeye başlanmış; bu yüzden zaman skalasında dinamik denklemler olarak birleştirilmiştir. Dinamik kapsamalar, dinamik denklemlerin önemli bir genelleştirilmesini temsil eder. Bir dinamik kapsamanın çözümü tek bir eğri yerine ulaşılabilir bir kümedir. Dinamik kapsamalar, optimal kontrol teorisinin bazı kavramları için temel teşkil etmektedir. Dinamik kapsamalar pek çok dinamik değişimsel eşitsizlik durumlarından doğmuştur; dinamik sistemler, dinamik Coulomb sürtünme problemleri ve fuzzy kümeleri aritmetiği gibi. Son yıllarda, zaman skalasında çeşitli dinamik denklemlerin salınımı ve salınımsızlığı konusunda çok fazla araştırma olmuştur. Buna rağmen, zaman skalasında ikinci dereceden dinamik kapsamaların salınımı ve dağılımlı sapma parametreli ikinci dereceden dinamik kapsamalar ile ilgili daha az sonuç vardır. Bu tezin amacı bu tipteki ikinci dereceden dinamik kapsamalar için bazı salınım kriterlerinin incelenmesidir. Birinci bölümde zaman skalası ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. f : 𝕋 -> ℝ fonksiyonları için zaman skalasında delta ve nabla türevleri açıklanarak bu türevler ile ilgili temel tanımlar ve örnekler ele alınmıştır. Ayrıca zaman skalasında delta ve nabla integral kavramına yer verilerek delta ve nabla integrallerin özellikleri de incelenmiştir. İkinci bölümde Ravi P. Agarwal, Said Grace ve Donal O'Regan tarafından aynı ikinci dereceden bir diferensiyel kapsama için 2003 ve 2009 yıllarında yapılan iki çalışma üzerinde durulmuştur. Dinamik kapsama formu üçüncü bölümde çalışılacak olan bu çalışmalarda ikinci dereceden bir diferensiyel kapsama için salınım kriterleri ile ilgili temel teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Elvan Akın-Bohner ve Shurong Sun tarafından 2012 yılında yapılan bir çalışma üzerinde durulmuştur. Bu çalışmada zaman skalasında ikinci dereceden güçlü süperlineer ve güçlü altlineer dinamik kapsamalar için bazı salınım kriterleri incelenmiştir. Son bölümde Said Grace, Elvan Akın ve Rawi Agarwal tarafından 2015 yılında yapılan yeni bir çalışma üzerinde durulmuştur. Bu çalışmada dağılımlı sapma parametreli lineer olmayan ikinci dereceden sönümlü dinamik kapsamaların tüm çözümlerinin salınımlılığı üzerine bazı teoremler verilmiştir. Son olarak, elde edilen sonuçlar için mümkün olan birkaç genişletme araştırılmıştır.