2-yutan asalımsı ideallerin amalgameted cebri

Değişmeli cebrin en önemli problemlerinden biri yeni ideal sınıfları kurmak ve bu yeni ideal sınıflarını bir kısım özel halkalarda çalışmaktır.Buna örnek olarak asal idealleri verebiliriz. Asal idealler değişmeli halkalar teorisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Dolayısıyla asal ideal tanımını genelleştirerek yeni idealler vermek oldukça yaygındır. Örneğin, I, R halkasının sıfırdan farklı bir ideali olmak üzere a,b,c ∈R elemanları için abc∈I olduğu zaman ab∈I ya da bc∈I ya da ac∈I oluyorsa I idealine R halkasının bir 2-yutan ideali denir. Bir başka örnek I, R halkasının bir ideali olmak üzere a_1,a_2,a_3,…,a_(n+1)∈R olsun. a_1,a_2,a_3,…,a_(n+1)∈I olduğu zaman a_i elemalarından n tanesinin çarpımı I idealinde yer alıyorsa I idealine n-yutan ideal denir. Buna paralel I, R halkasının bir ideali olmak üzere a,b,c ∈R elemanları için abc∈I olduğu zaman ab∈I ya da ac∈√I ya da bc∈√I oluyorsa I idealine R halkasının bir 2-yutan asalımsı ideali denir. Bu idealler farklı halkalarda, örneğin yerel halkalar, Noetherian halkalar, Artinian halkalar veya aşikar genişleme (trivial extension) için çalışılmıştır. Benzer biçimde yeni bir halka olan Amalgamated halkası için bu ideallerin bir kısmı farklı makalelerde çalışılmıştır. Bu çalışmada 2-yutan asalımsı idealleri Amalgamated halkasında belirlemeye çalışacağız. A ve B iki halka, J, B'nin ve I, A'nın birer ideali, f:A→B ise bir halka homomorfizması olsun. A ⋈^f J = {(a,f(a) + j): a ∈ A,j ∈ J} kümesi her a,a_1, a_2∈A ve j,j_1,j_2∈J olmak üzere (a_1,f(a_1 )+j_1 )+(a_2,f(a_2 )+j_2 )≔(a_1 〖+a〗_2,f(a_1 )+〖f(a〗_2 )+j_1+j_2) ve (a_1,f(a_1 )+j_1 )(a_2,f(a_2 )+j_2 )≔(a_1 a_2,f(a_1 a_2 )+〖f(a〗_2 ) j_1+f(a_1)j_2+j_1 j_2) işlemler altında bir halkadır. Bu halka özel olarak A×B halkasının bir alt halkasıdır. Bu halkaya A ve B'nin J ideali boyunca f altındaki amalgamationu denir. Ayrıca, I⋈^ƒ J∶={ (i,f(i)+j) ∶i∈I,j∈J} kümesi A⋈^ƒ J halkasının bir idealidir. Bu tezde temel motivasyonumuz I⋈^ƒ J idealinin verilen işlemler altında A⋈^ƒ J halkasında ne zaman bir 2-yutan asalımsı ideal olduğunu göstermektir. Öncelikle bu halkanın asal idealleri, idealin radikali ve asalımsı ideallerinin, 2-yutan asalımsı idealler ile ilişkisini verdik. Bununla ilgili bazı teoremler, örnekler ve sonuçlar elde ettik. Özellikle halkamız yerel halka, divided halka ve chain halka iken onun 2-yutan asalımsı idealleri ile ilgili sonuçlar verdik.