Ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları ve bazı uygulamaları

Bu tez çalışması üç temel kısımdan oluşmaktadır. İlk bölüm giriş niteliğinde olup, bu bölümde değişken üslü Lebesgue ve Sobolev uzaylarının tarihçesi ve uygulama alanları ele alınmıştır. Tezde kullanılan temel tanımlara ve teoremlere ise ikinci bölümde yer verilmiştir. Bulgular bölümünün birinci kısmında kapasite kavramından bahsedilmiş olup özel olarak ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzaylarında Sobolev -kapasitesinin yerine düşünülebilecek olan rölatif - kapasitesi tanımlanıp bazı önemli özellikleri incelenmiştir. İkinci kısımda ise sıfır sınır değerli ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayları tanıtılmış ve bazı temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca, bu uzaylarda Poincaré eşitsizliği ispatlanmıştır. Yine, uzayının elemanlarından oluşan yeni bir kapasite tanımlanıp Sobolev -kapasitesi ile arasındaki bazı eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü kısımda, rölatif -kapasitesi yardımıyla tanımlanan -fine (iyi) açık kümeler incelenmiştir. Ayrıca, bu kümelerden üretilen ve Öklid topolojisinden daha ince olan fine (iyi) topoloji, ağırlıklı değişken üslü duruma genelleştirilmiştir. Dördüncü kısımda ise, ağırlıklı klasik Lebesgue uzayı ile ağırlıklı değişken üslü Sobolev uzayının arakesiti uygun bir normla donatılmış, bu uzayın bazı temel özellikleri incelenmiş ve bazı sürekli-kompakt gömülmeleri elde edilmiştir.