Genelleştirilmiş splineların cebirsel yapısı

G sonlu bir çizge, R birimli değişmeli bir halka ve α, G çizgesinin kenarlarını R halkasının idealleri ile etiketleyen bir kenar etiketleme fonksiyonu olsun. (G,α) ikilisine bir kenar etiketli çizge denir. Bir (G,α) kenar etiketli çizgesi üzerinde bir genelleştirilmiş spline, komşu köşelerin üzerindeki etiketlerin farkı bu köşeleri bağlayan kenar üzerindeki idealin elemanı olacak şekilde bir F ⊂ R |V| köşe etiketlemesidir. R taban halkası ile bir (G,α) kenar etiketli çizgesi üzerinde tanımlı tüm genelleştirilmiş splineların kümesi R(G,α) ile gösterilir. R(G,α) kümesi halka ve R-modül yapılarına sahiptir. Bu tezde akış sınıfarı, Çin Kalan Teoremi ve lineer cebir teknikleri gibi yöntemler kullanarak genelleştirilmiş splineların modül yapısını çalışacağız. Genelleştirilmiş spline modüllerinin serbestlikleri ve taban bulma problemine odaklanacağız. Herhangi bir çizge ve temel ideal bölgesi üzerinde akış sınıflarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini bulmak için kombinatorik bir yöntem vereceğiz. Determinanta dayalı teknikler kullanarak taban halkası en büyük ortak bölen bölgeleri olmak üzere döngüler, elmas çizgeler ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için bir taban kriteri sunacağız. Genelleştirilmiş spline modülleri ile ilgili daha fazla bilgi edinmek için kenar etiketli bir çizgenin homojenizasyonunu tanımlayacağız. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde klasik ve genelleştirilmiş spline teorisini literatür taraması yaparak sunacağız. Genelleştirilmiş spline teorisinin motivasyonunu detaylı bir şekilde vereceğiz. Tezin sonuçlarını özetleyeceğiz. İkinci bölümde ebob ve ekok kavramlarının özellikleri, Çin Kalan Teoremi, temel modül teori ve temel çizge teori gibi tez için gerekli ön bilgileri vereceğiz. Üçüncü bölüm genelleştirilmiş spline teorisinin temel tanımları ve özelliklerine ayrılmıştır. Bu bölümde R(G,α) kümesinin cebirsel özelliklerini vereceğiz. (G,α) çizgesinin köşelerinin sırasını değiştirmenin R(G,α) modülünün yapısına etkisini araştıracağız. Ayrıca R(G,α) için R-modül üreteçleri bulmak için kullanılan M(G,α) matrisini tanımlayacağız. Dördüncü bölümde genelleştirilmiş splineların akış sınıfları adı verilen özel bir sınıfına odaklanacağız. Herhangi bir çizge ve herhangi bir temel ideal bölgesi üzerinde akış sınıfarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini formülize edeceğiz. Ayrıca genelleştirilmiş spline modülleri için akış sınıflarından oluşan tabanların varlığını inceleyeceğiz. Buna ek olarak, karışık sıralı döngü çizgeler üzerinde sıfırdan farklı İlk elemanları en küçük olan akış sınıflarını hesaplamaya yönelik bir algoritma vereceğiz. Beşinci bölümde en büyük ortak bölen bölgeleri taban halkası ile döngüler, elmas çizgeler ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için bir taban kriteri vereceğiz. Tamsayılar taban halkası ile döngüler ve elmas çizgeler için daha önce yapılmış çalışmaları genelleştireceğiz ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için de biz bir taban kriteri sunacağız. Bunun yaparken dördüncü bölümde formülize ettiğimiz akış sınıfarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini kullanacağız. Altıncı bölümde genelleştirilmiş splineların kümesine bir dereceli halka yapısı vermek için kenar etiketli bir çizgenin homojenizasyonunu tanımlayacağız. Genelleştirilmiş spline modülleri ile onların homojenizasyonları arasındaki serbestlik ilişkisini inceleyeceğiz. Ayrıca beşinci bölümde elde ettiğimiz taban kriterlerinin bir uygulamasını vereceğiz.