B-spline fonksiyonlar yardımıyla sonlu elemanlar yönteminin bazı uygulamaları

Kısmi türevli diferansiyel denklemler, lineer ve lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler olarak iki sınıfta incelenebilir. Uygulama alanlarına bağlı olarak da çeşitleri kendi içlerinde artmaktadır (Debnath, 2011). Bu yüksek lisans tezinde, zamana ve konuma bağlı bazı bir boyutlu lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler için nümerik çözüm araştırılacaktır. Model problem olarak, KdV Burgers, Gardner, Adveksiyon-Difüzyon, MRLW denklemleri seçilecektir. Çözümleri araştırırken zaman ayrıştırması için Crank-Nicolson yöntemi, konum ayrıştırması için ise Galerkin yöntemi çalışılacaktır. Bu nümerik yöntemler, model problemlere uygulanacaktır. İlk bölümde ileriki bölümlerde ihtiyaç duyulacak bazı temel kavramlar açıklanmıştır. İlk olarak solitary dalgalar, soliton, hata normları, sonlu farklar yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi, galerkin yöntemi ve kollokasyon yöntemi tanıtılmıştır. Spline fonksiyon kavramı anlatıldıktan sonra kübik B-spline ve genişletilmiş kübik B-spline fonksiyonlar tanımlanmıştır. Bu bölümün sonunda, sonraki bölümlerde sayısal çözümü araştırılacak olan KDV Burger Denklemi, Gardner Denklemi, Adveksiyon - Difüzyon Denklemi, Düzenlenmiş Uzun Dalga Denklemi için literatür taraması yapılmıştır. Diğer bölümlerde sırasıyla, KDV Burger, Gardner, Adveksiyon - Difüzyon, Düzenlenmiş Uzun Dalga (MRLW) denklemlerinin genişletilmiş kübik B-spline yöntemiyle sayısal olarak çözümleri incelenmiştir. Her biri için ikişer test problemi, tam sonuçlarla önerilen yöntemi karşılaştırmak için kullanılmıştır. Son bölümde genişletilmiş kübik B-spline yönteminin bu denklemlere uygulanışı hakkında elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır.