Banach uzaylarının tensör çarpım teorisi aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için yeni bir yaklaşım

Bu çalışmada, birinci ve ikinci mertebeden, değişkenlerine doğrudan ayrılamayan, homojen olmayan ve lineer yapıda kısmi türevli diferansiyel denklemler (KTDD) için alternatif ve sistematik bir çözüm yöntemi geliştirilmiştir. Temel yaklaşım, çözümün ayrılabilir formda varsayılması, yani u(x,y)=P(x)Q(y) şeklinde ifade edilmesi ve bu varsayımın ilgili diferansiyel denklemlere uygulanarak tensör çarpım biçiminde yeniden yazılmasıdır. Tensör çarpım yapısı sayesinde her terim, yalnızca bir değişkene bağlı fonksiyonların çarpımı şeklinde ele alınabilmekte ve böylece çözüm süreci sadeleştirilerek analiz edilebilir hale gelmektedir. Tez kapsamında sunulan yöntem, elde edilen denklemleri atomik çözümlere indirgeme fikrine dayanmaktadır. Bu bağlamda, hem x e hem de y ye bağlı bileşenlerin sabitlenmesiyle elde edilen iki temel çözüm senaryosu (Durum i ve Durum ii) sistematik şekilde incelenmiştir. Her bir örnek üzerinden elde edilen adi diferansiyel denklemler klasik çözüm yöntemleriyle çözülmüş, atomik çözümlerin var olup olmadığı değerlendirilmiştir. Çalışmanın sonucunda, geliştirilen yaklaşımın klasik ayırma yöntemlerinin yetersiz kaldığı durumlarda dahi etkin çözümler sunabildiği gösterilmiştir. Ayrıca, elde edilen çözüm yapılarının başlangıç koşulları ile tutarlılığı ayrıntılı biçimde incelenmiş ve yalnızca bazı durumlar için atomik çözümün mümkün olduğu ortaya konmuştur. Geliştirilen yöntem, hem teorik hem uygulamalı açıdan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde güçlü bir alternatif olarak değerlendirilmektedir.