Uncertain linear equations

Bu tezde, çeşitli belirsizlikler içeren denklem sistemleri için kuramsal sonuçlar ve uygulamaları sunulmaktadır. İlk kısımda, denklem sayısının bilinmeyen sayısından fazla olduğu durum (artık belirtilmiş) ele alınmaktadır. Katsayı matrisi ve ölçüm vektöründe birlikte belirsizlik bulunan denklem sistemleri için gürbüz ve isabetli yeni bir yöntem önerilmektedir. Çözüme ulaşmak ve başarımı analiz etmek için gradyan alanına dayalı yeni bir analitik yaklaşım sunulmaktadır. Sunulan kuramsal sonuçlar literatürde bilinen diğer yöntemlerin de incelenmesi için kullanılmıştır. Önerilen yöntem için başarım sınırları türetilmiş ve sinyal gürültü oranının belirli bir miktardan düşük olduğu durumda önerilen yöntemin diğer yöntemlere kıyasla daha başarılı olduğu ispatlanmıştır. Sayısal sonuçlar kısmında sistem tanımlama, çoklu frekans kestirimi ve ters evrişim problemlerindeki başarım oranı diğer yöntemlerle karşılaştırılmış ve düşük sinyal gürültü oranları için daha az toplam hata kare elde edilmiştir. Bu bölümde incelenen diğer bir belirsizlik modeli de seyrek belirsizliktir. Bu tür belirsizliklerin eğer yeteri kadar denklem varsa bazı koşullar altında kesin olarak çözülebileceği gösterilmiştir. Çözüm için bir optimizasyon kriteri ve konveks relaksiyonu önerilmektedir. Kesin ve kararlı çözüm için yeterli koşullar bulunmuştur. Nümerik örnekler önerilen yöntemin kesin çözüm olasılığının yüksek olduğunu göstermektedir. Yöntem kablosuz çokyollu kanal kestirim ve takibine uygulanmış ve yüksek başarım sağlanmıştır. Tezin ikinci kısmında bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazla olduğu (eksik belirtilmiş) durum ele alınmıştır. Arıkan'ın kutuplaşma kuramı sürekli dağılımlı rastgele değişkenlere genişletilerek, Hadamard ve Ayrık Fourier Dönüşümü'nün bağımsız eş dağılımlı sıkıştırılabilir değişkenlerdeki bilgi içeriğini kutuplaştırdığı gösterilmiştir. Sıkıştırılabilme ise Shannon'ın diferansiyel entropisi olarak tanımlanmıştır. Elde edilen bu sonuçlarla, eğer gözlem entropisi yeterliyse doğrusal denklem sistemin çözümünün belirlenebileceği gösterilmiştir. Bu yaklaşım sıkıştırılabilir sinyalleri örneklemeye uygulanmış ve ?Kutupsal Örnekleme? adı verilmiştir. Bu sonuç Sıkıştırmalı Örnekleme (Compressive Sampling) kuramının seyrek sinyallerden sıkıştırılabilir sinyallere bilgi kuramı yardımıyla genellenmesini sağlamıştır. Kutupsal Örnekleme yöntemi sayısal olarak dalgacıklar yardımıyla sıkıştırılabilir bir sinyali Nyquist hızı altında örneklemede denenmiş ve sonuçlar sunulmuştur.