Birinci mertebe bir trafik akım yaklaşımının sonlu fark esaslı çizgiler yöntemi ile sayısal modellemesi

Trafik sıkışıklığı önemli çevresel ve sosyal sorunlara yol açar. Trafik akımının doğru bir şekilde modellenmesi, sıkışıklığı azaltma anlamında gerekli önlemleri belirlemek için önemlidir. Trafik akım teorisi, ulaştırma tesislerinin kapasitesi ve trafik işletim kalitesi ile ilgili olan ulaştırmanın bir parçasıdır. Trafik akım teorisinin amacı, bir dizi geçerli koşul verilen bir trafik akımının işletme kalitesini değerlendirmektir. Trafik akımı için matematiksel modeller makroskopik, mezoskopik ve mikroskopik yaklaşımlar olarak üç ana kategoride sınıflandırılabilir. Makroskopik trafik akım modelleri, akışkanlar dinamiği ile analoji kurularak oluşturulmuştur ve sonuçta ortaya çıkan kısmi diferansiyel denklemler, karmaşık trafik olaylarının modellemesinde etkindir. Makroskopik trafik akım modelleri yoğunluk, akım, hız gibi trafik akım parametreleri arasındaki ilişkileri formüle eder. Bu çalışmada, makroskopik birinci mertebe bir hidrodinamik trafik akım modelinin sonlu fark esaslı çizgiler yöntemi ile sayısal çözümü gerçekleştirilmiştir. Sayısal yöntem ile öncelikle kısmi diferansiyel denklemin konumsal değişkeni yarı-ayrıklaştırılmış bir adi diferansiyel denklem sistemi elde etmek için p = 1,2,…,8 hata mertebeli sonlu farklar yaklaşımları ile ayrıklaştırılmıştır. Elde edilen diferansiyel denklemin zaman ayrıklaştırması ise açık Euler, açık orta nokta, lineer kapalı Euler ve lineer kapalı modifiye orta nokta olmak üzere dört farklı yöntemle adaptif olarak yapılmıştır. Sonlu fark esaslı çizgiler yönteminin performansı öncelikle analitik çözümü bilinen Burgers denklemi üzerinden değerlendirilmiştir. Sayısal yöntem bu denklemin çözümünde yüksek doğruluklu ve kararlı sonuçlar vermiştir. Elde edilen sonuçlar, trafik akım modeli için ihtiyaç duyulan referans çözümü belirlerken kullanılacak sonlu fark parametrelerinin belirlenmesinde de yol gösterici bir rol oynamıştır. Birinci mertebe trafik akım modeli için sonlu fark esaslı çizgiler yönteminin doğruluğu, h-kararlılığı, p-kararlılığı ve hesaplama süresi sayısal deneyler ile detaylı olarak incelenmiştir. Maksimum zaman adım değerinin uygun seçimi ile hem kapalı hem de açık yöntemler yüksek doğruluğa sahip sonuçlar vermiştir. Elde edilen sonuçlar kapalı zaman ayrıklaştırma yöntemlerinin her p değeri için h kararlılığına sahip olduğunu gösterirken açık zaman ayrıklaştırma yöntemlerinin h-kararlılığı maksimum zaman adımının seçimi ile ilişkilidir. Kapalı yöntemler için p-kararlılığı konumsal ayrıklaştırma nokta sayısının 100'ün üzerinde olması durumunda elde edilmiştir. Hesaplama süreleri karşılaştırıldığında açık yöntemlerin kapalı yöntemlere göre daha avantajlı olduğu görülmüştür. Adaptif zaman adımlarının belirlenmesinde kullanılan tolerans değerlerinin azaltılması ile hesaplama sürelerinin önemli ölçüde kısaltılması mümkün olmuştur. Sayısal yöntem ile birinci mertebe trafik akım modeli kapsamında zaman bağımlı kısmi diferansiyel denklem farklı sınır ve başlangıç koşulları eşliğinde etkin bir şekilde çözülmüştür. Ayrıca, birinci mertebe modelde sürücü davranışı ve yol kalitesini belirleyen faktörlerin farklı değerleri kullanılarak simülasyonlar yapılmış ve böylelikle sonlu fark esaslı çizgiler yöntemi ile psiko-mekanik etkileri dikkate alan bir trafik modellemesi başarılı bir şekilde gerçekleştirilmiştir.