Large-scale and nonconvex eigenvalue optimization

Bu tez çalışmasında bir takım parametrelere analitik olarak bağlı Hermit bir matrisin belirtilen bir özdeğerininin optimizasyonu üzerine yoğunlaşıyoruz. Bu yoğunlaştığımız çerçeve, sabit iz varsayımı altında doğrusal yarı belirgin programlama, şekil optimizasyonu ve yapısal tasarım problemleri, kontrol teorideki güçlü dengelilik ölçekleri gibi klasik uygulamalar tarafından motive ediliyor. Ana olarak ilgilendiğimiz bu tip büyük Hermit matrisler içeren özdeğer optimizasyonu problemleri, özellikle uygun alt uzaylara dik izdüşümler sayesinde bahsi geçen büyük Hermit matrislerinin boyutlarının indirgenmesi. Ama tez çalışmasında ek olarak bu özdeğer problemlerinin konveks olmayan doğaları ile de ilgileniyoruz. Çalışmaya iyi alt uzaylar üreten alt uzay çerçeveleri geliştirerek başlıyoruz. Her adımda dik izdüşümle elde edilen indirgenmiş ufak bir özdeğer optimizasyonu problemi çözülüyor, ardından alt uzaylar indirgenmiş problem ile orijinal büyük çaplı problem arasında indirgenmiş problemi optimize eden parametre değerlerinde bir takım Hermit özellikleri sağlanacak şekilde genişletiliyor. Alt uzay çerçeveleri için yakınsama analizini sonsuz boyutta, yani bu çerçevelerin parametrelere bağlı kendine eşlenik kompakt bir operatörün özdeğerlerinin optimizasyonu için uygulandığı durumda, gerçekleştiriyoruz. Bu sonsuz boyuttaki analizde (i) çerçevelerin Jinci en büyük özdeğerin mini- mizasyonu için uygulandığında boyut sonsuza yaklaştıkça global olarak en iyi çözüme yakınsadığını, (ii) yakınsama hızının alt uzayın boyutuna göre ve türevlenebilir durumda en az süper-doğrusal olduğunu kanıtlıyoruz. İkinci hızlı yakınsama sonucunun pratikteki etkisi önemli; büyüklüğü onbinler mertebesinde olan matrisler içeren özdeğer optimizasyonu problemleri, büyüklüğü onlar mertebesinde matrisler içeren indirgenmiş özdeğer optimizasyonu problemleri tarafından yaklaşık olarak ama yüksek doğruluk ile temsil edilebiliyor. Çalışmanın ikinci kısımını türevlenemeyen durumda, yani optimal parametre değerlerinde özdeğerin çoklu katsayıya sahip olduğu durumda, yakınsama hızı analizlerine adıyoruz. Buradaki analizler özel olarak tek bir parametreye bağlı bir Hermit matris fonksiyonunun en büyük özdeğerinin minimizasyonu problemi üzerinde gerçekleştiriliyor. İlk kısımdaki alt uzay çerçevelerinin genelleştirilmiş bir hali için kuadratik yakınsama sonucunu kanıtlıyoruz. Ayrıca, yine bu türevlenemeyen durumda, indirgenmiş problemlerin global çözümü için kullanılan ve parçalı kuadratik model fonksiyon tabanlı yöntemin hızlı yakınsadığını gösteriyoruz. Elde edilen teorik yakınsama hızı sonuçlarının, pratikte iç sayısal yarıçap hesabından kaynaklanan bir takım türevlenemeyen örnekler üzerinde sağlandığını gözlemliyoruz. En son olarak en büyük özdeğer fonksiyonunun amaç fonksiyonununda belirdiği minimum-maksimum türü optimizasyon problemlerinin üzerine yoğunlaşıyoruz. Ufak problemler için global olarak en iyi çözüme yakınsayan bir yöntem, ve büyük çaplı problemler için de, ilk kısımdaki çerçevelerden de ilham alarak, alt uzay çerçeveleri tasarlıyoruz. Tasarlanan alt uzay çerçevelerinin yine hızlı yakınsadığını kanıtlıyoruz. Bu teorik sonuçları pratikte sayısal yarıçapın minimizasyonu problemi üzerinde teyit ediyoruz.