Large-scale estimation of the stability radius

Bir matrisin kararlılık yarıçapı, matrisin 2-normu açısından karmaşık düzlemin kapalı sağ yarısında bir özdeğer içeren en yakın matrise olan uzaklığıdır. Aynı zamanda, ilgili sürekli-zamanlı lineer kontrol sisteminin asimptotik olarak kararsız sistemler kümesine olan uzaklığına denk gelir ve tekil değer optimizasyonu problemi olarak tanımlanabilir. Bu tezde, temel ilgi alanımız büyük ölçekli karmaşık kararlılık yarıçapı problemleridir. İlk bölümde asıl problemleri düzgün alt uzaylara yansıtıp daha küçük ölçekli problemler elde etme üzerine kurulu, tekil değer optimizasyon karakterizasyonu üzerinde etki eden bir alt uzay yöntemini öneriyoruz. Her iterasyonda kontrol sisteminin durum uzayı küçük bir alt uzayla sınırlanıyor ve orijinalinden çok daha küçük bir tekil değer optimizasyonu problemi elde ediliyor. Sonuç olarak, seviye kümesi yöntemleri aracılığıyla sayısal olarak çözülen ve kuadratik hızda yakınsayan bir algoritma elde ediyoruz. Mevcut Boyd-Balakrishnan ve Bruinsma-Steinbuch algoritmalarının bu amaç için nasıl değiştirilebileceğini açıklıyoruz. Her iterasyonda indirgenmiş tekil değer optimizasyonu problemi çözüldükten sonra sınırlanmış alt uzayı, indirgenmiş problemi optimize eden değerde, indirgenmiş problem ile asıl problem arasında Hermit interpolasyon özelliklerinin korunması şartı ile belirli orijinal problem tekil vektörlerini içerecek şekilde genişletiyoruz. Bu alt uzay çerçevesinin süper-lineer hızda yakınsadığını teorik olarak kanıtlıyoruz. Kararlılık yarıçapını hesaplamak için önerilen alt uzay çerçevesinin önemli bir sorunu, yerel olarak yakınsaması. İkinci bölümde, birinci bölümde tanıtılan alt uzay yönteminin global optimum olmayan bir yerel optimuma yakınsama ihtimalini önlemek amacıyla, girdi matrisinin karmaşık düzleme en yakın özdeğerlerini başlangıç interpolasyon noktaları olarak kullanmayı öneriyoruz. Bu seçim, tekil değer optimizasyon probleminin global optimize değerlerinin büyük olasılıkla karmaşık düzleme yakın olan özdeğerlerin yakınında yer alması gözlemine dayanıyor. Bu özdeğerleri, yakın zamanda Aziz ve diğerleri tarafından büyük ölçekli doğrusal olmayan özdeğer problemleri için özel olarak geliştirilen türev interpolasyon alt uzay çerçevesini kullanarak hesaplıyoruz. Bu alt uzay yaklaşımında, orijinal büyük ölçekli ve küçük genelleştirilmiş özdeğer problemleri arasında interpolasyon özelliklerini sağlayan küçük bir genelleştirilmiş özdeğer problemine yol açan çift taraflı Petrov-Galerkin projeksiyonları kullanıyoruz. Küçük problemlerin tüm özdeğerleri QZ algoritması aracılığıyla kolayca hesaplanabiliyor. Daha sonra her iterasyonda tekrar projeksiyon alt uzaylarını küçük problemin karmaşık düzleme en yakın olan özdeğerleriyle orijinal problem arasında Hermite interpolasyon özelliklerini sağlayacak şekilde genişletiyoruz. Bu alt uzay yöntemi en azından kuadratik bir hızda yakınsıyor ve orijinal büyük ölçekli özdeğer problemini karmaşık düzleme yakın neredeyse aynı özdeğerlere sahip olan küçük bir özdeğer problemi ile yaklaşık olarak çözüyor. Son olarak tanımladığımız alt uzay yöntemlerini birleştirerek, büyük matrislerin kararlılık yarıçapını çoğu zaman iyi bir şekilde tahmin eden etkili bir yaklaşım elde ediyoruz ve çeşitli seyrek matrisler üzerinde kapsamlı sayısal deneylerle doğruluyoruz.