Effective preconditioners for iterative solutions of large-scale surface-integral-equation problems

Üç boyutlu elektromanyetik saçılım ve ışınım problemlerinin çalışılmasında yoğun doğrusal sistemlere yol açan ayrıklaştırılmış yüzey integral denklemlerini çözmek yaygın bir yöntemdir. Çözümün karmaşıklığının azalmasından dolayı, bu doğrusal denklemlerin Krylov altuzayı ve çok seviyeli hızlı çokkutup (ÇSHÇY) yöntemleri kullanılarak iteratif çözümü son derece çekici hale gelmiştir. Fakat bu yaklaşım sadece yakınsama için gereken iterasyon sayısı aşırı derecede yüksek olmadığı sürece işe yaramaktadır. Maalesef, pek çok pratik durumda bu geçerli olmamaktadır. Özellikle, açık yüzey ve karmaşık gerçek hayat problemleri kötü koşullu doğrusal sistemlere yol açmaktadır. Bu tarz problemlerin iteratif çözümleri, kabaca sistem matrislerine yaklaşan tersi alınabilir matrisler olarak tanımlanan öniyileştiriciler olmadan mümkün olmamaktadır.Bu doktora tezinde, büyük ölçekli yüzey integral denklemi problemleri için geliştirdiğimiz etkin öniyileştiricileri sunmaktayız. İlk olarak, en yaygın ve oturmuş bir öniyileştirme yöntemi olan eksik LU (ELU) öniyileştirmesini ele aldık. Bu öniyileştiricilerin nasıl bir kara kutu formunda ve güvenli olarak kullanılabileceklerini gösterdik. Önemli avantajlarına rağmen, ELU öniyileştiricileri temel olarak sıralı bir yapıda oldukları için, paralel çözümlerde kullanılmak üzere bir seyrek yaklaşık ters (SYT) öniyileştiricisi geliştirdik. Paralel ölçeklenebilirlik için önemli olan özgün bir yük dengeleme yöntemi geliştirdik. Daha sonra SYT öniyileştiricilerini, yoğun sistemi bir iç-dış çözümü şeklinde öniyileştiren yakın alan matris sisteminin iteratif çözümünde kullanarak geliştirdik. Mükemmel iletkenler için geliştirdiğimiz son öniyileştirici, benzer bir iç-dış çözümü kullanmakta, ama iç çözümler için ÇSHÇY'nin yaklaşık bir versiyonunu kullanmaktadır. Bu yolla, helikopterler ve metamalzemeler içeren çok sayıda karmaşık gerçek hayat problemini makul iterasyon sayılarında çözmeyi başardık.Son olarak, diyelektrik problemlerinin ayrıklaştırılmasından elde edilen doğrusal sistemlerin öniyileştirilmelerini hedefledik. Mükemmel iletkenlerden farklı olarak, bu sistemler bölünmüş yapıdadırlar.Schur tümleyenine indirgemeyle bu bölünmüş yapıyı öniyileştirme için kullandık. Bu yolla, diyelektrik fotonik kristaller gibi, çözümü zor gerçek hayat problemlerinin makul sürelerde çözümünü mümkün kılan etkin öniyileştiricilerin geliştirilmesi mümkün olmuştur.