A study on direct summand submodules over noncommutative rings

Halka ve modül teorisinde ilk akla gelebilecek problemlerden biri verilen nesnenin sadeleşme özelliğini incelemektir. Bu problem, ilk olarak J\'{o}nsson ve Tarski tarafından genel bir cebirsel yapı için ele alınmış ve sonrasında yerine koyma ve içsel sadeleşme gibi sadeleşme kavramı ile ilgili varyasyonların tanımlanmasına imkan vermiştir. 1930'ların ortalarında, sadeleşme problemi J\'{o}nsson ve Tarski tarafından genel bir cebirsel yapı için ele alınmadan hemen önce, von Neumann çığır açan bir buluşa imza attı ve sürekli geometrilerin teorisini geliştirdi. Sürekli geometrilerin önemli özelliklerinden biri görüntü kümesi $\left [ 0,1 \right ]$ olan bir boyut fonksiyonuna sahip olmasıydı ve bu boyut fonksiyonunun inşaasında ise temel yapı taşı perspektiflik bağıntısıydı. Bu tez çalışmasında, sadeleşme ve süreklilik kavramlarından türeyen yeni nosyonları ele alacağız. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde, stable range 1, değişim özelliği ve perspektiflik gibi çalışmalarımızda önem arz eden halka ve modül teorik kavramlar tanıtılmıştır. Tezin ikinci bölümünde, içsel sadeleşebilen halkalar olarak adlandırılan tek yönlü ideallerine göre içsel sadeleşme özelliğini sağlayan halkalar ele alınmıştır. Daha sonra özel bir koşul tanıtılarak içsel sadeleşebilen halkalar, birimsel düzenli halkalar ve stable range 1 özelliğine sahip halkalar için yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir. Ayrıca, dik toplanan sağ ideallerinin toplamı da dik toplanan olan halka sınıfı, içsel sadeleşebilir halkalar ile birlikte ele alınmıştır. Tezin üçüncü bölümünde, bir $R$ halkasının (eşkare) stable range 1 özelliğine sahip elemanlarının bir $I$ idealine göre, $R/I$ bölüm halkasından yükseltilmesi kavramı tanıtılmıştır. Bu kavramlar tanıtılırken çeşitli örnekler verilmiş ve bugüne kadar literatürde önemli yer edinmiş eşkare elemanların yükseltilmesi, birimsel elemanların yükseltilmesi ve von Neumann düzenli elemanların yükseltilmesi gibi özellikler ile bağlantıları incelenmiştir. Daha sonra bir $R$ halkasının sol veya sağ duo olması koşulu altında stable range 1 özelliğine sahip elemanların her ideale göre yükseltilmesi ile o halkanın stable range 1 özelliğine sahip olmasının denk olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, zayıf bir koşul altında (eşkare) stable range 1 özelliğine sahip elemanların yükseltilmesi kavramının von Neumann düzenli elemanların yükseltilmesi kavramını gerektirdiği gösterilmiştir. Tezin dördüncü ve son bölümünde, süreklilik ve ayrıklık kavramlarının en son varyasyonları $C4$- ve $D4$-modüller perspektif dik toplanan alt modüller açısından ele alınmış, yeni karakterizasyonlar ve sonuçlar elde edilmiştir. Bunula birlikte, $C4$-modüllerin endomorfizma halkaları ve $C4$-halkaların bazı genişlemeleri incelenmiştir. Son olarak yeni tanımlanan bir zincir koşulu ile $C4$-modüller ve $D4$-modüller için ayrışım teoremleri verilmiştir.