Diçatılara genelleştirilmiş bazı topolojik kavramlar

Bu tezin amacı, ditopolojik doku uzaylarının bir genelleştirmesi olarak diçatı kavramını tanımlamak ve bu yapı üzerinde, ayırma aksiyomları ve kompaktlık gibi topolojik özellikleri çalışmaktır. Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez konusuna kısa bir giriş yapılmıştır. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan ve çatı teorisi ile ditopolojik doku uzayları konu edinen bazı temel bilgilere yer verilmiştir. Üçüncü kısım koçatı teorisi üzerine yapılan çalışmalara ayrılmıştır. Burada, çatı teorisine dual olarak bazı yeni tanımlar ve özellikler sunulmuştur. Dördüncü kısımda, diçatıların kategorisi oluşturulmuştur. Bunun için önce, doku uzayların kategorisi olan drTex'in morfizmaları ile çatıların kategorisi olan Frm'nin morfizmaları arasındaki ilişkiler incelenmiş, daha sonra ise Frm'nin dolu bir alt kategorisi olan frTex elde edilmiştir. Elde edilen bu bağlantıdan yararlanılarak diçatıların ve diçatı homomorfizmalarının kategorisi olan diFrm inşa edilmiştir. Bu kısımda ayrıca diçatılarda taban, alt taban ve altdilokal kavramları da tanımlanmıştır. Beşinci bölümde, diçatılarda ayırma aksiyomları incelenmiştir. Özel olarak, bu aksiyomlar için bazı karakterizasyonlar verilmiş ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir. Son bölümde, diçatılarda kompaktlık ve dengelilik kavramları araştırılmıştır. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda, bu özelliklerin kalıtsal olup olmadığı ve belli koşulları sağlayan morfizmalar altında korunup korunmadığı soruları tartışılmıştır. Dengelilik, bir diçatının, çatı ve koçatı kısımlarını birbirine bağlayan bir özellik olduğundan, ayırma aksiyomları ve kompaktlığı ilişkilendiren topolojik özelliklerin diçatılardaki karşılıkları oluşturulurken, kompaktlık yerine dengelilik kullanılmıştır. Burada aynı zamanda Alexander alt taban teoreminin bir genelleştirmesine yer verilmiştir. İkinci kısımda, diçatılarda yerel dengelilik ve yerel kompaktlık kavramları tanımlanmıştır. Bu kavramların ikili topolojik uzaylardaki karşılıkları, nokta-tabanlı bir yapı olan komşulukları kullanırken, burada yapılan tanımlarda belirli özelliklere sahip ikili bağıntılardan yararlanılmıştır. Son olarak, bu lokal özelliklerin bazı özel koşulları sağlayan morfizmalar altındaki görüntüleri incelenmiştir.