Dört boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış genel ve çatılandırılmış η_3-slant helisler

Bu tez 5 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde helis eğrilerinin gerçek hayattaki kullanım alanlarından ve bir eğrinin helis olabilmesi için eğrilik ve burulma arasındaki ilişkiden bahsedilmiştir. Ayrıca genel helis, slant helis ve B_2-slant helis kavramları ile ilgili kuramsal gelişmeler hakkında literatür özeti yapılmıştır. İkinci bölüm dört alt bölümde ele alınmıştır. İlk alt bölümde Öklid uzayında temel tanımlar verilmiştir. Daha sonra bu uzayda bir eğrinin, bir t anındaki Frenet çatısı ve eğrilikleri açıklanmıştır. Bu alt bölümde Öklid uzayı ile ilgili tanımlar doğal sayı olmak üzere n-boyutta verilmiştir. Fakat diğer alt bölümlerde ise tez çalışmasında kullanılacak olan kavramlar olması sebebiyle ilgili tanım ve teoremler özel olarak 4-boyutlu uzayda verilmiştir. İkinci alt bölümde 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış eğri tanımlanmış ve bu çatının her bir noktasındaki genelleştirilmiş teğet, genelleştirilmiş esas normal, genelleştirilmiş binormal ve genelleştirilmiş ikinci binormal vektörleri verilmiştir. Üçüncü alt bölümde 3-boyutlu uzayda oldukça fazla kullanım alanı olan genel helislerin 4-boyutlu uzayda tanımı verilmiş ve bir eğrinin genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şartları incelenmiştir. İkinci bölümün son alt bölümünde ise eğrinin B_2 ikinci birim binormal vektörünün sabit bir vektörle sabit açı yapması sonucu oluşan eğrinin B_2-slant helis olduğu açıklanmış ve eğrinin B_2-slant helis olması durumunda eğrilikler arasındaki bağıntılar verilmiştir. Üçüncü bölümde 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış genel helisler kavramı ele alınmıştır. Bu uzayda çatılandırılmış genel helisin, genelleştirilmiş teğet vektörün sabit bir vektörle sabit açı yapması sonucu oluşan eğri olduğu açıklanmıştır. Daha sonra çatılandırılmış bir eğrinin eğriliklerinden oluşan sabit değerli bir p^2/q^2 +(1/r (p/q)' )^2 denklemin sağlanmasının bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart olduğu ifade edilmiştir. Bu teorem yardımıyla elde edilen denklemin türevinin alınması sonucu bulunan (p/q)(p/q)'+(1/r (p/q)' )(1/r(p/q)')'=0 denklemin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Son olarak p(s),q(s) birinci dereceden ve t(s) ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla elde edilen p/q=C_1cost+C_2sint eşitliğin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir genel helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Dördüncü bölümde ise 4-boyutlu Öklid uzayında B_2-slant helisler konusunu genelleştirmek, kullanım alanlarını arttırmak ve yapılacak olan yeni çalışmalara zemin hazırlamak için bu uzayda singüler noktalara sahip olan çatılandırılmış eğriler ile incelenmiştir. İlk olarak Önder ve ark. tarafından ele alınan 4-boyutlu Öklid uzayında B_2-slant helisler ve Akyiğit, Yıldız tarafından ele alınan 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış normal eğriler makalelerinden yola çıkarak 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış η_3-slant helislerin tanımı verilmiştir. Burada 4-boyutlu Öklid uzayında çatılandırılmış η_3-slant helis; genelleştirilmiş η_3-ikinci binormal vektörünün, sabit bir doğrultuyla sabit bir açı yapması sonucu oluşan eğri olarak tanımlanmıştır. Daha sonra çatılandırılmış eğrinin eğriliklerinden oluşan sabit değerli bir (r/q)^2+(1/p^2)((r/q)'))^2 denklemin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şartı ifade eden teorem verilmiştir. Bu teorem yardımıyla elde edilen denklemden yola çıkarak ikinci dereceden diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu bulunmuş ve bu fonksiyonun f(s)p=d/ds(r/q), d/dsf(s)=-p(r/q) denklemlerini sağlaması halinde çatılandırılmış eğrinin bir çatılandırılmış η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şartı verilmiştir. Son olarak q(s),r(s) birinci dereceden ve β(s) ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla elde edilen r/q=Acosβ(s)+Bsinβ(s) eşitliğin sağlanması halinde bu eğrinin çatılandırılmış bir η_3-slant helis olabilmesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Sonuç bölümünde ise üçüncü bölümde, 4-boyutlu uzayda çatılandırılmış genel helisler için genelleştirilmiş eğrilikleri p,q,r cinsinden bulunan bir karakterizasyon verilmiştir. Ardından, bu karakterizasyonun sağlanması halinde elde edilen farklı bir karakterizasyon daha verilmiştir. Son olarak ise uygun olarak seçilen birinci ve ikinci derecen diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla 4-boyutlu uzayda çatılandırılmış genel helisler için bulunan bir karakterizasyonu daha verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, dördüncü bölümde 4-boyutlu uzayda çatıandırılmış η_3-slant helisler için genelleştirilmiş eğrilikleri cinsinden bulunmuş bir (r/q)^2+(1/p^2)((r/q)')^2 karakterizasyonu verilmiştir. Ardından, bu veriden hareketle çatılandırılmış η_3-slant helisler için ikinci dereceden diferensiyellenebilir bir fonksiyon yardımıyla elde edilen farklı bir karakterizasyon verilmiştir. Son olarak ise uygun olarak seçilen birinci ve ikinci dereceden diferensiyellenebilir fonksiyonlar yardımıyla çatılandırılmış η_3-slant helis için elde edilmiş bir karakterizasyon daha verilmiştir. Bu bölümün sonunda ise gelecek çalışmalar için öneriler verilmiştir.