Esnek kümeler ve topolojisi üzerine

1999 yılında Molodtsov tarafından çeşitli belirsizlikleri kaldırmak amacıyla ortaya atılan esnek küme teorisi, dikkatleri hızla üzerine çekmiş ve birçok araştırmacı tarafından yeni bir matematiksel araç olarak kabul edilmiştir. Bu yeni alanda çalışan matematikçiler, konunun gelişmesine önemli katkılarda bulunmuşlardır. Bir yandan klasik teori kullanılarak esnek teoriyi geliştirmek amaçlanırken, bir yandan da elde edilen yeni kavramların yine klasik teori ile bağlantısı üzerinde durulmuştur. Bu tez çalışmasında, esnek küme teorisinin temelini oluşturan tanımlara yer verilerek konun tanıtılması sağlanmış ve bu tanımlardan hareketle esnek Kuratowski kapanış ve esnek iç operatörleri aracılığıyla esnek topolojik uzayların inşaası yapılmıştır. Ardından, literatürde yer alan farklı esnek nokta tanımlarından hareketle esnek iç, esnek kapanış, esnek dış, esnek sınır noktaları tanımları ve bunlar aracılığıyla elde edilen esnek kümeler tekrardan tanımlanmıştır. Bu tanımlar ışığında esnek topolojik uzaylar yeniden incelenmiştir. Sonuç olarak, klasik küme teorisi ve klasik topolojik uzaylardan aşina olunandan bazı farklı sonuçlar elde edilmiştir. Bunlara ek olarak esnek metrik uzaylar üzerine çalışılmış ve esnek metrik uzaylar ile klasik metrik uzaylar arasındaki ilişkiye değinilmiştir. Bu noktada, klasik metrik uzayların genellemeleri olan bazı metrik yapıları göz önünde bulundurulmuş ve esnek metriklerin aslında bu genellemelerden biri olan koni metrik kavramına karşılık geldiği gözlemlenmiştir. Böylelikle, koni metrik uzaylar üzerinde elde edilen bütün sabit nokta teoremlerinin esnek metrik uzaylara ek bir koşul gerekmeksizin aktarılabildiği sonucuna varılmıştır.