Numerical study of orthogonal polynomials for fractal measures

Son yıllarda potansiyel teorisinin yaklaşım teorisi ve interpolasyon üzerinde temel etkileri olmuştur. Genel ortogonal polinomların modern teorisinin temel kavramları potansiyel teorisi açısından tanımlanmıştır. Bu kavramlardan biri de ekstremal polinomların normlarının bir kümenin belli bir derecesine oranı olan Widom faktörleridir. Widom faktörlerinin sonlu boşluk durumu için teorisi varken, fraktal kümeler için çok az şey bilinmektedir, özellikle de dayanağı sürekli tekil ölçümler için. Numerik deneyimizin motivasyonu Cantor tipindeki kümelerde Widom faktörlerinin nasıl davrandığı hakkında bilgi edinmektir. A.P. Goncharov tarafından [16]'te tanıtılan zayıf dengeli Cantor kümelerini inceliyoruz. Bu kümeler, adım adım bir dizi parametreye bağlı olarak değişen ikinci dereceden polinomların yinelenmesiyle elde edilmektedir. Bu parametrelerdeki değişimler çeşitli istenilen özelliklere sahip Cantor kümeleri sağlamaktadır. Bu tür kümelerin denge ölçümleriyle ilgili ortogonal polinomlarının rekürens katsayılarını hesaplamak için bir algoritma veriyoruz. Numerik deneylerimiz bu algoritmaya itimat edilebileceğini göstermektedir. Dört model Cantor kümenin denge ölçümleriyle ilgili ortogonal polinomların rekürens katsayıların ve sıfırlarının asimptotik davranışları bu algoritma ile incelenmiştir. Daha sonra rekürens katsayıların asimptotik davranışları, Widom faktörleri ve sıfırlar arasındaki aralıklar hakkında çeşitli sanılarda bulunulmuştur. Bu sonuçlar yayın için kabul edilmiştir [1] (G. Alpan ve A. Goncharov ile ortak çalışmadır).