Genel integral dönüşümleri kullanılarak elde edilen matematiksel modellerin farklı kesirli türevler için analizi ve uygulamaları

Bu doktora tezinde, kesirli diferansiyel denklemlerin çözümüne yönelik klasik yaklaşımların ötesine geçilerek, farklı kesirli türev tanımlarıyla bütünleştirilmiş genel integral dönüşümlerine dayalı yeni bir analitik çerçeve geliştirilmiştir. Riemann–Liouville ve Caputo gibi klasik kesirli türevlerin yanı sıra Caputo–Fabrizio, Atangana–Baleanu ve sabit orantılı kesirli türevler de ele alınmış; bu türevlerin, sahip oldukları çekirdek fonksiyon yapıları sayesinde farklı hafıza etkilerini modelleyebilme yeteneğine sahip olduğu gösterilmiştir. Öncelikle, Laplace, Sumudu ve Elzaki dönüşümlerini kapsayan genel integral dönüşüm teorisi sunulmuş ve bu dönüşümlerin çeşitli kesirli türev operatörleriyle uyumluluğu sistematik olarak incelenmiştir. Literatürde \emph{Yeni Genel İntegral Dönüşümü} olarak bilinen bu dönüşümün, parametrik yapısı sayesinde geniş bir özel durum kümesini kapsadığı ve Caputo–Fabrizio ile Atangana–Baleanu gibi modern kesirli türevlerle yüksek uyum gösterdiği ortaya konmuştur. Tezin uygulamalı bölümünde, solunum mekaniği, ekonomik büyüme (GSYİH) ve epidemik yayılım alanlarında kesirli türevler kullanılarak özgün matematiksel modeller geliştirilmiş ve bu modeller genel integral dönüşümleri yardımıyla analitik olarak çözülmüştür. Ayrıca, SUM integral dönüşümü adı verilen yeni bir integral dönüşüm tanımlanmış ve bu dönüşümün temel özellikleri ayrıntılı biçimde incelenmiştir. Uygun parametre seçimleri altında SUM dönüşümünün literatürde yer alan çeşitli integral dönüşümlere özel hâl olarak indirgenebildiği gösterilmiş; farklı kesirli türev tanımlarına karşılık gelen kutup analizleri ve transfer fonksiyonları bu dönüşüm kullanılarak elde edilmiştir. Bunun yanı sıra, Uyumlu Kesirli Genel İntegral Dönüşüm adıyla yeni bir dönüşüm tanımlanmış ve bu dönüşümün bazı özellikleri ile uygulamaları sunulmuştur. Sonuç olarak bu tez, kesirli kalkülüs ile genel integral dönüşüm tekniklerini birleştirerek önemli kuramsal katkılar sunmakta ve disiplinler arası uygulamalar için güçlü bir modelleme yaklaşımı ortaya koymaktadır.