Öncü-Leibniz cebiroidleri üzerinde diferansiyel geometrik yapılarıngenellemeleri

Cebiroidler, bir çokkatlının teğet lif demetini genelleyen matematiksel yapılardır. Bu sebeple, çokkatlılar üzerindeki diferansiyel geometrik yapıların genellemeleri için uygun matematiksel bir çerçeve olarak görülebilirler. Örneğin, metrik-afin geometri, teğet lif demetinin bir örneğini oluşturduğu Lie cebiroidleri üzerinde inşa edilebilir. Öte yandan, genelleştirilmiş geometri Courant cebiroidleri üzerinde yazılabilir. Diferansiyel geometrik yapılar, klasik alan kuramlarında temel bir rol oynadığından, bu cebiroidler fiziksel amaçlar için de önemlidir. Örneğin, genel görelilik kuramı metrik-afin geometrik kavramlar cinsinden açıklanabilirken; genelleştirilmiş geometri, bozonik sicim teorisinin çift alan kuramı formülasyonuyla yakından ilgilidir. Sicim ve M teorilerinde; metrik, yüksek-Courant ve konformal Courant gibi diğer pek çok cebiroid sıklıkla kullanılmaktadır. Bu yüzden, tüm bu cebiroidleri özel bir durum olarak içeren daha kapsamlı bir yapıyla ilgilenmek doğal bir tutumdur. Yerel öncü-Leibniz cebiroidleri ve daha özel olarak karşı-sıradeğiştiren hale getirilebilen öncü-Leibniz cebiroidleri, bu kapsamlı genelliktedir. Bu sebeple, tüm bu yapıların aynı anda çalışılabildiği bu cebiroidler üzerindeki diferansiyel geometri, oldukça önemlidir. Bu tezde, öncü-Leibniz cebiroidleri üzerindeki çeşitli diferansiyel geometrik yapılar çalışılmaktadır. En temel düzeyde, metrik-bağlantı geometrileri inşa edilmekte ve bu geometrilerin özellikleri incelenmektedir. Karşı-sıradeğiştiren hale getirilebilen öncü-Leibniz cebiroidleri üzerinde, uygun adını verdiğimiz bir bağlantı sınıfı için Bianchi ve Ricci özdeşlikleri, Cartan yapı denklemleri ve bir bağlantının burulma ve metriksel-olmama tensörleri cinsinden çözümlemesi gibi pek çok önemli ilişki kanıtlanmıştır. Ayrıca, öncü-Leibniz cebiroidleri üzerinde istatistiksel, Hessian, konformal, izdüşümsel ve Weyl yapıları öne sürülmüş ve bu yapılarla ilgili çokkatlı bağlamındakilere paralel bazı sonuçlar kanıtlanmıştır.