Geometric measure theory and the double bubble conjecture

Bu tezde geometrik ölçü teorisini ve çift kabarcık zanını çalışacağız. Geometrik ölçü teorisini işleyişimiz başlangıç düzeyinde olacak ancak teoriler ve kanıtları detaylı bir şekilde çalışılacaktır. Daha sonra, geometrik ölçü teorisinin bir uygulaması olarak, iki ve üç boyutlu Öklid uzaylarında ki çift kabarcık zanlarını tanıtacağız.Geometrik ölçü teorisi diferansiyel geometrinin, düzgün olmayabilen fonksiyon ve yüzeyler ile uğraşan, bir koludur. Bu alan diferansiyel geometrinin fikirlerini, ölçü teorisini kullanarak, genişletmektedir. Geometrik ölçü teorisinin başlangıç noktasını oluşturan en önemli sorularından biri, Öklid uzayında verilen bir sınıra sahip en düşük alanlı kümeyi bulmak, bu kümenin herhangi bir geometrik özelliği olup olmadığına ve tek olup olmadığına karar vermektir.İki boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanı standart çift kabarcığın verilen iki alanı kaplayan ve ayıran en düşük çeper uzunluğuna sahip tek küme olduğunu öne sürmektedir. İki boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanı J. Foisy, M. Alfaro, J. Brock, N. Hodges ve J. Zimba tarafından beraberce gösterilmiştir. Bu zanın tam kanıtını vereceğiz ve üç boyutlu Öklid uzayında ki çift kabarcık zanının kanıtının taslağını vermeden önce M. Hutchings tarafından kanıtlanan yapı teorisini çalışacağız. Yapı teorisi, standart çift kabarcık haricinde üç boyutlu Öklid uzayında verilen iki hacmi kaplayıp, sınır yüzeyinin alanı en küçük olabilecek tek bir alternatifin olduğunu öne sürmektedir. M. Hutchings, F. Morgan, M. Ritore ve A. Ros, orjinal bir stabilite savı kullanarak, standart çift kabarcık haricinde ki olasılığı yok saymışlar ve böylece standart çift kabarcığın üç boyutlu Öklid uzayında verilen iki hacmi kaplayan ve ayıran minimum yüzey alanlı tek küme olduğunu göstermişlerdir.