Grothendieck's dessin theory

Cebirsel geometri ile kompleks geometri arasındaki Riemann'ın kurduğu köprü şu gözleme dayanmaktadır: Kompakt Riemann yüzeyleri ve tekil olmayan kompleks projektif eğrileri aynıdır. Belyi'nin sayı cisimleri üzerine tanımlanan eğriler ile projektif doğrunun belli örtülerinin varlığı arasında köprü kuran meşhur teoreminden sonra, Grothendieck 1980'lerde, "Equisse d'un programme"'da bu tür örtülerin [0,1] reel aralığının öngörüntüsü ile belirlendiğini açıkladı ve bu öngörütülere dessin d'enfant (çocuk çizimleri ya da kısaca desen) olarak adlandırdı. Belyi göstermişti ki, rasyonel sayı cisminin cebirsel kapanışı üzerine tanımlı her cebirsel eğri, projektif doğrunun en fazla üç noktada dallanmış örtüleri ile temsil edilebilir. Başka bir deyişle, rasyonel sayı cisminin cebirsel kapanışı üzerine tanımlı her cebirsel eğri, içine gömülü bir desen barındırır. Bu tezde "dessin d'enfant" teorisini tanıtacağız. Bir desen n harfli simetri grubundan bir sıralı geçişken permütasyon çifti ile betimlenebilir. PGL(2,Z) grubunun bu çiftler üzerinde bir etkisi vardır, böylelikle desenler üzerinde de bir etkisi vardır. Amacımız henüz incelenmemiş bu etkiyi tanımlamaktır ve incelemektir. Son bölüm bu etkinin kombinatoryel ve aritmetik doğasını anlamaya ayrıldı.